基于水平线的图像处理

[摘要]对图像中的全部水平线进行光滑的方法，可以在对图像进行去噪、增强、保证平滑水平线演化。尤其是各水平线在表示边缘轮廓线的同时也会按照法线方向进行移动，因此对边缘的定义进行了保存。边缘的切线方向是光滑方向，此时，图像在边缘位置上的梯度变得比较小，致使演化此水平线的速度很小，进而造成了水平线在边缘位置上的移动与光滑程度都非常小。

[关键词]曲线演化;水平线;图像处理

[中图分类号]TP391.41

[文献标识码]A

1 Snake模型

图像分割与图像处理属于同一种图像修补问题，它具体是指对背景与其他物体之间特定目标的分离问题有效进行解决，已经出现了很多方法利用边缘检测对这一问题有效解决。

Snake[模型在图像分割中属于一种主动轮廓模型，它的依据是曲线能量最小化的变型。主动轮廓模型是Snake模型的重要思想：在限制给定图像的情况下，在需要检测目标周围设置初始曲线，并且凭借一定的方式对曲线进行演化，逐渐收缩目标，最后在目标边缘的曲线结束演化，促使得到曲线有关的最小内能与外能，其中利用内能可以促使边缘检测曲线变得更加光滑，而利用外能有利于曲线与图像目标的边缘更加接近。

2 水平集方法概述

在处理图像与计算机视觉中，大部分偏微分方程都能够通过驱动曲率的曲线或者演化曲线进行表示。在这一研究范围内，Sethian构建的水平集法体现出了比较广泛的影响与应用。重要思想就是通过高维曲面的零水平集对曲线或者曲面进行表示。这一技术不但为数值提供了更加准确的方法，并且能够对拓扑变化轻易进行处理。

原始的水平集方法具有比较简单的思想，给定空间曲面，并且对空间在速度场控制下的变化情况进行讨论，速度场的大小取决于空间点的相关位置、演化所需的时间、曲面的几何信息以及外部对曲面的作用力。Sethian在1987年提出对这类问题处理可以采用水平集函数，他定义了一个光滑的函数，其中使用集合代表曲面。

水平集函数具有以下性质：

φ（x，t）<0，对x∈Ω;

φ（x，t）>0，对x∈Ω;

φ（x，t）<0，对x∈Ω。

在演化的具体过程中，可以通过寻找集合φ（x，t）=0对曲面演化位置进行确定。这一改进对计算数值发挥了重要作用，有利于进行定义以及对曲线的变化拓扑有效处理，自行分裂与合并。

在速度场的作用下对φ中的各水平线进行演化，能够在速度场作用下获得对应的曲面变化空间位置的情况。

通过对图像的各种理解，对图像下各种定义。可以假设真实的一幅图像应当符合的性质，凭此构建各种形式的图像模型。例如Mumfordshah模型认为图像是交叠的光滑物体，因此图像应当是分段且光滑连续的，可以把图像划分为光滑与边缘部分各自构建模型，同样的也需要指出图像应当符合的特点，并且构建原始图像模型，在这里本文提出了处理图像的新方法。

3 曲线演化中处理图像

曲线演化：通过某种方式促使曲线上的各点不断对自身的空间位置进行改变，在整体变化过程中，曲线可能会产生扩张、收缩、分裂以及合并现象，各点可以产生不同的改变方式与行为。把在曲线上各点进行移动的方式与行为进行控制的外力称为流，也可以认为是外力作用下的曲线演化过程。

研究者提出了对图像中的全部水平线进行光滑的方法，可以在对图像进行去噪、增强、保证平滑、演化以及表述边缘过程中使用这些方法，并且获得了良好的效果。

利用水平集方法对曲线演化进行求解，使用函数中的零点集对曲线M进行表示。我们可以在Ω上的一幅图像定义函数φ，将φ（x，y）的数值作为点在（x，y）的位置上的灰度值。可以获得以下的命题。

命题：已知方程φ1= v|Vφ|在图像φ上进行作用，各水平线在图像中都凭借速度v按照梯度反方向进行演化。证明方程φ1= v.|Vφ|在图像φ上进行作用时，零水平线会按照速度反方向通过速度v进行移动。

设计图像函数为ω=φ-k，任一灰度值表示为k，则会有：

于是存在于图像∞中的零水平线按照梯度反方向通过速度v进行演化。由于在φ中零水平线就是灰度值k的水平线，因此命题成立。

命题对于一般的图像都能够成立，现在获得了针对水平线的处理图像的方法;

当用（2）式对图像进行处理时，存在于图像之中的各水平线会凭借速度v沿着反方向梯度进行移動。只要选择适当的表达v的方式，促使存在于图像中的各水平线按照某种规律实施演化，就能够获得图像处理的目的。

4 对ALM模型的解释

其实能够用这一种对图像水平线的图像处理方法对很多存在的图像处理模型进行解释，平滑处理一维与二维信号的经典做法是把信号与高斯核作卷积，高斯滤波器的特点宽度决定模糊程度，由于高斯核各向同性的算子，因而按照不同区域间边缘的法线方向光滑，模糊了边缘的空间位置。Malik与Perona提出了一种各向异性的扩散工程，它只对边缘的切线方向进行光滑，而不是对边缘的法线方向进行光滑。Avlarez与Morel做出了重要的改进，提出了图像的光滑模型，它可以更好地保持边缘，将会用本文提出的思想解释这个模型。

ALM模型就是对下面的方程进行求解：

其中图像与高斯滤波器的卷积应用G*a表示。

按照水平线演化，扩散方程的几何意义为，存在于图像中的各水平线凭借速度v按照梯度沿反方向进行移动。尤其是各水平线在表示边缘轮廓线的同时也会按照法线方向进行移动，因此对边缘的定义进行了保存。边缘的切线方向是光滑方向，此时，图像在边缘位置上的梯度变得比较小，致使演化此水平线的速度很小，进而造成了水平线在边缘位置上的移动与光滑程度都非常小。

5 应用新建模型

我们可以假设真实图像应当具备的性质，根据这个前提构建原始的不同形式的模型。在这里要把处理图像转化为处理图像的水平线，促使v的表达方式不同，就能够使存在于图像中的各水平线体现不同的性质，进一步调整整幅图像。今后可以根据图像的不同类型选择各种v，构建对应的处理图像模型。

在一般的曲线演化中应用v=k，也就是曲率驱动的演化模型，曲线在比较大的曲率时能够快速移动，而曲线在曲率较小时移动速度比较慢。

在（3）式中应用v=k时，由命题可知，移动水平线速度的快慢同时决定了曲率的大小。当出现k>0与k<0的时候，分别按照梯度反方向与梯度方向凭借|k|的速度进行移动。因此應用这个方程进行处理之后，存在于图像中的各水平线会出现逐渐变小的曲率。同时方程促使图像中存在的深色物体逐渐收缩。图像中存在的噪声点一般会在该位置变大曲率，因此针对比较大的曲率的点可以通过这个方程实施消除，进一步满足噪音去除的目的。

通过分析v=k时方程的演化结果可知，图像中的水平线被方程拉直了，有效去除了边缘位置的棱角以及噪声。可是也能够分析出存在于图像中的曲边物体逐步开始缩小.直至最后消失，因此通过它对图像直接进行处理时，严格限制了迭代具体次数以及时间步长，对其在图像处理过程中的应用造成了阻碍。

Malldi与Sethian利用很多的数值试验，分析与研究了这一方程的作用。通过一个开关函数对图像产生的扩散行为有效控制，促使各点按照所在区域中像素不同的灰度强度与梯度信息，对扩散行为选择max与nun有效控制。

我们从（3）式分析产生以上效果的具体原因。通过分析图形可以获得以下命题，按照这个命题人们获得了一个比较简单的图像修补方程。

存在于图像中的凸物体部分，曲率k是正值;在凹物体部分，曲率七是负值。证明选择一个普通的图像，在图像中划出几条水平线，其灰度值的关系是：

a>d>c>b，因此图像呈现的是凹物体。

已知b-a <0，因此k<0，也就是在凹部分，曲率比零小，同理可证在凸区域，曲率也比零小。针对凸区域，v=k>0，其中水平线按照反方向梯度凭借速度|k|进行演化，由此区域将会不断缩小。针对凹区域，v=k<0，水平线按照反方向梯度凭借|k|进行演化，因此区域凹的程度将会逐步缩小，直到k值为零，也就是水平线是直线。

[参考文献]

[1]谢美华，王正明，谢华英.图像去噪的偏微分方程模型的最优参数选取[J].遥感技术与应用，2005 （02）.

[2]王大凯.图像处理中的偏微分方程法[M].校内讲义，2005 （03）.

[3]Chan R， Ho C， Nikolown M.Salt and pepper noise removal by median typenoise detection and detail preserving regularization[J].IEEE Transactionson Image Processing，2005（ 14）.

[作者简介]张琳娜（1981-），女，陕西渭南市人，研究生，副教授，研究方向：数学教育与数学建模。