相对速度瞬心的动量矩定理深度剖析

摘 要：给出相对速度瞬心的动量矩定理的推导过程，对相对速度瞬心的动量矩定理进行深度透视，探讨其概念、原理及应用，对比其与相对质心动量矩定理的差异性.

关键词：理论力学;速度瞬心;动量矩定理;时变转动惯量

[中图分类号]O313.3   [文献标志码]A

Abstract：The theorem of angle momentum is a powerful tool for solving the dynamic problems of plane motion of rigid bodies.In theoretical mechanics textbooks，only the angle momentum theorem about mass center is given，but the angle momentum theorem about instantaneous center is not given.Because of the instantaneity of instantaneous center，students often have disputes and errors in solving a problem.This paper gives a deductive process of the theorem，which is compatible with the current theoretical mechanics teaching system. In order to deepen understanding of the theorem and to use it correctly，we also make a deep perspective on the theorem，discusses its concept，principle and application，and compare the difference of it with the angle momentum of mass center.

Key words：theoretical mechanics;instantaneous center;theorem of angle momentum;time-varying moment of inertia

動量矩定理是解决刚体平面运动动力学问题的一个有力工具.在理论教材中，只是给出了相对质心的动量矩定理[1]，没有给出相对速度瞬心的动量矩定理.由于速度瞬心的瞬时性，学生在采用该定理解题过程中经常会出现争议和错误，故有必要对相对速度瞬心的动量矩定理进行深度剖析，理清其概念和原理.文献[2]给出了质点系相对动点的动量矩定理，文献[3]全面总结了动量矩的定义及关系，给出了非惯性参考系下的动量矩定理.文献[4-5]讨论了关于对速度瞬心的动量矩定理，并给出了证明，得到了一般形式.文献[6]探讨了相对速度瞬心的动量矩定理及教学应用.这些研讨对于提升理论力学的教学效果是十分有益的，然而文献[4-6]的推导过程和目前的理论力学教学体系不兼容，很难给学生讲清楚.本文基于质点系相对动点的动量矩定理，推导平面运动刚体相对于速度瞬心的动量矩定理，并且给出其转动惯量形式，探讨其在求解刚体平面运动动力学问题中的应用.

1 质点系相对动点的动量矩定理

质点系相对于动点的动量矩包括两种：质点系绝对运动相对动点的动量矩和质点系相对运动对动点的动量矩.文献[3-7]中的质点系相对动点的动量矩均是指质点系绝对运动相对动点的动量矩，本文亦是如此.文献[2]以简洁的形式证明了质点系相对动点的动量矩定理，本文直接引用其结论，不进行严格推导.

2 平面运动刚体相对速度瞬心的动量矩定理

在理论力学教材中，讲述了相对于质心的动量矩定理，速度瞬心和质心具有明显不同的属性，主要区别如下：

（1）质心是一个确定的点，而速度瞬心在不同时刻是不同的点，具有瞬时性.

（2）在运动过程中，刚体各点到质心的距离不变，而刚体各点在不同时刻到速度瞬心的距离是不一样的.

（3）教材推导质点系相对质心的动量矩定理时，将动参考系固结在质心上，在定参考系观察，质心是运动的;在动参考系中，质心就是坐标原点，是一个固定点，而速度瞬心无论是从定参考系还是动参考系中观察都是时刻改变的点.

（4）在理论力学学习过程中，学生及大部分教师最熟悉的是通过转动惯量计算定轴转动或者刚体相对于质心的动量矩，在这两种情况下，转动惯量是不变的，即转动惯量均为常数.采用转动惯量计算相对速度瞬心的动量矩与上述情况不同，由于速度瞬心具有时变性，所以相对速度瞬心的转动惯量亦是时变的.

综上所述，能否对速度瞬心取动量矩及如何理解相对速度瞬心的动量矩定理就成了教学中的难点.要突破教学难点，必须理解速度瞬心的特殊性.现行理论力学教材只阐述了速度瞬心的定义及确定方法，没有讲授速度瞬心的动轨迹及定轨迹，对讲授相对速度瞬心的动量矩定理造成了障碍.

2.1 关于速度瞬心的补充

在运动刚体上的不同瞬时瞬心点的轨迹称为瞬心动轨迹 .[2]在刚体运动过程中，在不同瞬时，参考平面上与速度瞬心相重合的点称为定轨迹点，由定轨迹点所构成的轨迹称为瞬心定轨迹.[2]值得注意的是，速度瞬心是位于刚体上的点，即动参考系中的点;定轨迹点是参考平面内的点，即固定参考系的点.如图2所示，圆盘在地面上以角速度ω纯滚动，在S时刻，其速度瞬心为PS，PS位于圆盘上;定轨迹点为P′S，P′S位于地面.在S时刻，P′S与PS相重合.在地面上，由不同时刻的P′S点所组成的曲线即为定轨迹.在圆盘上，由不同时刻的PS点所组成曲线即为瞬心动轨迹.对于纯滚动的圆盘，瞬心定轨迹为直线，瞬心动轨迹为圆弧.

从（8）式中可以看出：

（1）当质心到速度瞬心的距离保持不变（例如，圆盘在平面上纯滚动时，速度瞬心为圆盘与平面的接触点，此时圆盘质心到速度瞬心的距离不变，始终为圆盘的半径），即d为常数时，则d·=0，（8）式退化为（9）式.

（2）关于时间的函数d取极值点时（最大值或最小值）时，则d·=0，（8）式退化为（9）式.

（3）当ω→=0时（例如刚体做平面运动的初始时刻），（8）式亦可以退化为（9）式.

2.3 典型例题分析

均匀质量的细杆AB长为l，质量为m， A端放在光滑的水平面上，当细杆AB受到微小扰动倒下时，求其刚刚到达地面时的地面约束反力.[1]

3 结论

目前，针对平面运动刚体相对于速度瞬心的动量矩定理的教学内容，仅限于教学辅导书及一些教研论文.在教学过程中，部分学生喜欢运用相对速度瞬心的动量矩定理，以取得相对简洁的解法.学生们及部分教师在理解该定理上有一定的困难.为了避免运用该定理解题过程中可能會引起的错误和争议，与目前的理论力学教学体系兼容的讲授该定理，笔者深度剖析其基本概念，阐述其与相对质心的动量矩的异同，澄清了对该定理的认识误区以及对速度瞬心理解的不足.

参考文献

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（Ⅰ）[M].北京：高等教育出版社，2016：259-280.

[2]洪嘉振，杨长俊.理论力学[M]. 北京：高等教育出版社，2015：230-238.

[3]李银山.Maple 理论力学Ⅰ[M].北京：机械工业出版社，2013：265-279.

[4]张光枢.关于对瞬时速度中心的动量矩定理[J].力学与实践，1983（01）：50-53.

[5]刘成群.关于对瞬时速度中心的动量矩定理的再讨论[J].重庆大学学报，1983（1）：74-86.

[6]邱支振.对速度瞬心的动量矩定理的教学与应用[J].安徽工业大学学报：社会科学版，2001（3）：105-106.

[7]刘延彬.基于速度约束求导法补充加速度关系[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2019（4）：72-74.

编辑：吴楠