合理构造辅助圆，模型应用巧破题

程花

[摘  要] 圆是一种含有众多特殊性质的几何图形，利用圆中角度与线段长之间的关系可以挖掘题干隐含条件，巧妙解题，因此学会添加辅助线，掌握常见圆类模型十分重要. 文章举例解析圆类模型，结合实例探究解题思路，开展教学反思，并提出相应的建议.

[关键词] 辅助圆;模型;性质;直角;最值;四点共圆

圆是初中数学的重要图形之一，圆中含有一些较为特殊的性质，合理利用可以巧妙解题. 因此，对于一些几何综合题，可以采用构造辅助圆的方式来加以突破. 构造辅助圆应以圆的基本知识为出发点，总结归纳几何模型，利用模型的解析思路来处理问题，下面举例探究.

模型解析，解题探索

1. 模型一：直角模型

模型分析：“直径对直角”是圆的重要性质定理，即圆的直径所对的圆周角为直角，据此可以构建相应的直角模型. 如图1，A，B，C均在圓O的圆周上，若∠ACB=90°，则AB为⊙O的直径. 进一步拓展，若点C为一动点，则点C在以AB为直径的⊙O上运动.

例1？摇 如图2，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，点P是斜边AB上的一个动点，点Q是底边BC上的一个动点，且两点均不与点A和点B重合，试回答下列问题.

（1）若PQ∥AC，CQ=BQ，试求线段CP的长.

（2）若PQ不与AC平行，试分析△CPQ能否为直角三角形. 如果可以，请求出线段CQ长的取值范围;如果不可以，请说明理由.

解析  （1）因为PQ∥AC，CQ=BQ，所以AP=BP. 又∠ACB=90°，所以CP= AB. 由勾股定理得AB= =13，所以CP= .

（2）分析可知，若PQ不与AC平行，要使△CPQ为直角三角形，只有∠CPQ=90°. 结合圆的直角模型构造辅助圆，即以CQ为直径作半圆，设圆心为D，如图3.

①当半圆与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM垂直于AB，点P与点M重合时△CPQ即为直角三角形. 此时，AC=AM=5，MB=8. 设CD=a，则DM=a，DB=12-a. 在Rt△DBM中使用勾股定理，可得a2+82=（12-a）2，解得a= . 此时CQ=2a= .

②当

③当0

综上可知，当 ≤CQ<12时，△CPQ可能为直角三角形.

评析？摇 上述试题为直角三角形存在性问题，可结合圆的“直径对直角”构造辅助圆进行分析，即动点必然位于对应的圆上，因此可将问题转化为分析半圆与斜边的交点问题.

2. 模型二：最值模型

模型分析：利用圆的特性可以确定两点之间的距离最值，即常见的最值模型. 如图4，点P是⊙O外一点，直线OP与⊙O相交于A，B两点，设点A为圆上相对于点P的近点，点B是远点，那么PA就为点P到圆上的最短距离，PB就为点P到圆上的最远距离. 圆的最值模型可用于分析几何线段最值问题.

例2  如图5，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点M为AD的中点，点N为AB上的一个动点. 现将△AMN沿MN所在的直线翻折，得到△A′MN，点A的对应点为A′，连接A′C，试求A′C长度的最小值.

解析？摇 题干给出了△AMN的翻折过程，其中点N为线段AB上的一个动点，根据折叠特性可知A′M=AM=1，结合点M为AD边的中点，可知MA=MA′=MD，因此点A′在以AD为直径的圆上，即其轨迹为一个圆（其实是圆的一部分）. 以M为圆心、AM的长为半径画⊙M，结合圆上的最值特性可知CM所在直线与圆的近交点就为最小值点，故连接MC，与⊙M的交点就为A′. 过点M作CD的垂线，垂足为H，如图6. 已知∠A=60°，则∠MDH=60°. 在Rt△MDH中，MH=MD·sin60°= ，HD=MD·cos60°= ，则CH=CD+HD= . 在Rt△MCH中使用勾股定理，可得MC= = ，所以A′C= -1，即A′C长度的最小值为 -1.

评析？摇 上题属于涉及动点的几何翻折最值问题，其重点是确定动点翻折后对应点的轨迹. 分析题干条件可挖掘出作辅助圆的解析思路，后续直接利用圆上动点的最值模型求解即可. 实际上，圆上最值模型背后隐含的是“两点之间，线段最短”原理，理解模型的本质对于问题的解析来说十分重要.

3. 模型三：四点共圆模型

模型分析：拓展圆内接四边形对角互补的性质，可知如果一个四边形的一组对角互补，则其四个顶点共圆. 对其进一步挖掘可得圆的“四点共圆”模型，具体如下：

如图7，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边AB，点O为AB的中点，由直角三角形斜边中线特性可知OC=OD=OA=OB，所以A，B，C，D四点共圆. 利用共点共圆可进一步结合圆周角定理来转化为角度相等，从而完成模型向等量关系的转化，这是证明几何角度问题的常用方法.

例3？摇 如图8，△ABC为等腰直角三角形，其中AC=BC=2，∠ACB=90°，点D是AB的中点. 现将△CAD绕点C逆时针旋转角度α，得到△CEF，点A的对应点为E，点D的对应点为F，DF与AE的交点为M. 当α由90°变化为180°时，求点M的运动轨迹的长.

解析？摇 试题为三角形旋转问题，分析旋转角变化时点M的轨迹. 由条件AC=CE，CD=CF，可知∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD. 因为∠ACD=∠ECF，所以∠ACE=∠DCF. 进一步可推知∠CAE=∠CDF. 取AC的中点为O，则A，D，M，C四点在以点O为圆心、AO的长为半径的圆上，连接OD，CM，作图如图8.

据图可知，点M的运动路径为弧CD. 由四点共圆几何性质可知∠CMF=∠CAD=45°，∠CMD=135°，由条件可知CD⊥AB，∠ADC=∠DOC=90°，所以弧CD的长= = ，即α由90°变化为180°时，点M的运动轨迹的长为 .

评析？摇本题为几何变换综合题，以等腰直角三角形旋转为背景求顶点随旋转角变化的运动弧长. 解题的关键是作辅助圆，发现A，D，M，C四点共圆. 四点共圆背后隐含的是几何等量關系，在实际解题时可以将其拓展到利用四点共圆构造等角中.

解后思考，教学建议

上述举例探索了构造辅助圆，利用圆的模型简化解题过程的思路. 构造辅助圆是几何问题解析的重要策略，尤其适用于涉及动点的几何问题，下面提出三点建议.

1. 关注模型本身，深刻理解模型

上述所呈现的直角模型、最值模型、四点共圆模型是圆中特殊的三大模型，也是构造辅助圆解题的典型代表. 学习模型时，需要关注模型本身，理解模型的知识本质，包括模型对应的圆的性质、知识原理等. 如直角模型实则是圆的“直径对直角”性质，最值模型则是“两点之间，线段最短”原理的拓展，“四点共圆”则是对圆周角定理的变式拓展. 在实际教学中，教师需要引导学生从圆的性质定理出发，理解模型本质，以定理定义为依托，开展模型教学.

2. 添加辅助圆，学习构造方法

利用圆的模型解题的关键一步是添加辅助圆，即几何构造，其构造的基础是理解题意，所以掌握添加辅助圆的常规方法是十分必要的. 辅助圆的添加方法有很多种，具体可归纳为以下三种：一是利用圆的定义添加辅助圆，即三个及以上的点到同一点的距离相等作圆;二是作三角形的外接圆，即任意不在同一直线上的三点共圆，也是由圆周角推论所得;三是利用四点共圆，一般有两种思路，可用四边形的对角互补，也可利用同底同侧有相等顶角的三角形. 在实际教学中，建议教师根据具体的问题情境开展辅助圆构造法教学，引导学生总结问题特点，结合问题指导构造思路.

3. 渗透数学思想，提升数学思维

开展解题方法教学的核心主要有两个：一是指导学生掌握解题技巧，二是提升学生的数学思维. 其中后者对学生的长远发展最为重要，也是课改理念所在. 在教学中，学生思维的提升可具体到思想上，即教学中合理地渗透数学思想，引导学生利用对应的思想开展问题分析、转化. 如上述添加辅助圆，利用圆类模型的解题过程渗透构造思想、模型思想、化归与转化思想、数形结合思想，正是在这些思想的融合下完成了辅助线添加、问题转化、思路构建. 因此，需要教师结合数学思想开展解题方法教学，使学生理解思想内涵，内化方法，逐步提升思维水平.

写在最后

圆是学生在初中阶段唯一接触的曲线图形，本身具有诸多的几何性质，深刻理解可用于几何问题求解. 对于一些涉及动点的问题，可通过添加辅助圆来帮助学生理解题意. 上述所呈现的是其中较为常用的三大圆类模型，其解析方法和构造思路具有一定的参考价值，在实际教学中建议教师从圆的基本性质入手，指导辅助线添加的方法，引导学生深刻理解模型，形成模型解题的方法策略. 同时重视数学思想方法的渗透，以提升学生的综合素质.