单位球Bn上改进的Roper-Suffridge算子

胡春英, 王建飞

(华侨大学 数学科学学院, 福建 泉州 362021)

1 预备知识

设f:Bn→Cn是全纯映射，若f满足f(0)=0，Df(0)=In，则称f是Bn上的正规化全纯映射,这里Df(z)表示f在点z处的Jacbian矩阵，In表示n阶单位矩阵；若f的逆映射f-1存在，且f-1在f(Bn)上全纯，则称f是Bn上的双全纯映射；若对每点z∈Bn，Df(z)都是非奇异的，则称f是Bn上的局部全纯映射.

若对所有z∈Cn和λ∈C，多项式Pk:Cn→C都满足Pk(λz)=λkPk(z)(k∈N)，则称Pk为Cn上的k次齐次多项式.Pk的范数为‖Pk‖=sup{|Pk(z)|:z∈∂Bn}，表示Pk在z点处的梯度，容易看出，Pk(z)z=kPk(z)，且

Roper等[1]于1995年提出的Roper-Suffridge算子为

文献[1-2]分别证明了Roper-Suffridge算子有如下3个性质：

1) 若f是U上的正规化双全纯凸函数，则F(z)是Bn上的正规化双全纯凸映射；

2) 若f是U上的正规化双全纯星形函数，则F(z)是Bn上的正规化双全纯星形映射；

3) 若f是U上的正规化双全纯Bloch函数，则F(z)是Bn上的正规化双全纯Bloch映射.

由于对Bn上具体凸映射、星形映射及Bloch映射等双全纯映射的研究甚少，而用Roper-Suffridge算子可以构造出许多这样的映射，Liu[3]证明Roper-Suffridge算子保持α次的星形性，文献[4-5]用不同的方法证明Roper-Suffridge算子保持α次的殆星性.2005年，Muir[6]将Roper-Suffridge算子改进为

殆星映射是星形映射的子族，近些年,有很多关于殆星映射的相关研究[4-17].文中将研究由下面定义所给出的一类殆星映射.

则称f(z)是Bn上的β型复数阶λ次殆星映射.

定义2[14]设f(z)是单位圆盘U上的全纯函数，若

(1)

则称f(z)是U上的Bloch函数.

定义3[15]设f:Bn→Cn是全纯映射，若

(2)

则称f(z)是Bn上的Bloch映射.

2 相关引理

引理1[14]设φ(z)是单位圆盘U上的全纯函数，则Re(φ(z))≥0的充要条件为存在一个定义在[0,2π]上的非单减函数μ(t)，使得μ(2π)-μ(0)=Re(φ(0))且

引理2设φ(z)是单位圆盘U上的全纯函数，若Re(φ(z))≥0，则

证明:若Re(φ(z))≥0，由引理1，有

引理3[16]设f(z)是单位圆盘U上的正规化双全纯函数，常数ν≥2，则

3 保持复数阶殆星性的改进的Roper-Suffridge算子

证明：由定义1，定理1的证明只需证明

(3)

对所有的z∈Bn成立即可.

(4)

对所有满足‖z‖=1且z0≠0的点成立.

令z=ξw，其中，w∈Cn，‖w‖=1，ξ∈C，|ξ|=1.将z代入式(4)，得

(5)

因为不等式左边是|ξ|≤1上的调和函数，由调和函数的最小模原理，式(5)在|ξ|≤1上也成立.因此，只需验证式(4)对所有满足z∈∂Bn且z0≠0的点成立即可.

(6)

通过计算，可得

因此有

再由‖z‖2=|z1|2+‖z0‖2=1，得

(7)

(8)

将式(8)代入式(7)，得

从而有

因为f(z1)是U上的正规化双全纯β型复数阶λ次殆星函数，所以Re(φ(z1))≥0.由引理2，可得

从而有

(11)

特殊地，当β=0时，得到下面推论1.

4 保持Bloch性质的改进的Roper-Suffridge算子

证明：因为f是单位圆盘U上的正规化局部双全纯函数，由式(6)，可得

(13)

因为f是U上的Bloch函数，由定义3可知，必存在一个常数M≥1，使得

(1-|z1|2)|f′(z1)|≤M，z1∈U.

(14)

从而有

(15)

因此,当k≥2时，有

(16)

由引理3，对任意z1∈U，有

从而有

(17)

再由式(15)，(17)，得

(18)

因为

(19)

当Pk≡0时，定理2就是文献[2]中的定理2.6.