电磁场切向边界条件解析

何俊

摘要：本文给出了电磁场切向边界条件的三维示意图，推导了电磁场的切向边界条件，结合三维示意图详细解读了两种切向边界条件表达式的意义，阐明了两种表达式的联系与区别以及内涵的统一，有助于读者深入、细致、全面地掌握电磁场的切向边界条件。

关键词：电磁场;切向边界条件

中图分类号：O441   文献标识码：A   文章编号：1672-9129（2020）16-0152-02

前言：实际的电磁场工程问题通常要涉及到由不同电磁参数的媒质构成的相邻区域。在不同媒质的分界面上，由于媒质的电磁参数发生突变，使得电磁场矢量也随之发生突变，所以微分形式的麦克斯韦方程组不能应用于媒质的分界面上，而积分形式的麦克斯韦方程组不受电磁场矢量是否连续的影响，因此可以从积分形式的麦克斯韦方程组出发，推导出电磁场矢量在不同媒质分界面上满足的边界条件。边界条件在电磁场工程问题的求解过程中占据重要地位。

目前，应用于本科教学的教材中[1]-[3]，关于切向边界条件的推导都没有给出三维的示意图，使读者，特别是初学者难以理解切向边界条件的两种表达式，不能正确掌握切向边界条件的内涵。本文试图以容易理解的三维图示的方式解析切向边界条件，使读者对于晦涩的公式有直观的理解。

1 电磁场切向边界条件的推导及解析

如图1所示，在两种媒质的分界面上任一点P处的法向单位矢量e→n，由媒质2指向媒质1。在点P周围任取一与e→n共面的小矩形回路abcda，所围面积为ΔS。ab和cd两条边分别位于分界面两侧，且与分界面平行，其长度ab=cd=Δl。ab和cd无限靠近分界面，所以bc=da=Δh→0。有向面元ΔS→的法向单位矢量e→p与小矩形回路abcda的绕行方向成右手螺旋关系，e→t是分界面上的切向单位矢量，其方向与有向线段ab一致，e→t满足e→t=e→p×e→n。

积分形式的全电流安培环路定理

∮CH→·dl→=∫SJ→·dS→+∫SD→t·dS→        （1）

将其应用于小矩形回路abcda，有

∫baH→·dl→+∫cbH→·dl→+∫dcH→·dl→+∫adH→·dl→=∫ΔSJ→·dS→+∫ΔSD→t·dS→  （2）

在bc=da=Δh→0条件下，方程左边表示为limΔh→0∫baH→·dl→+∫cbH→·dl→+∫dcH→·dl→+∫adH→·dl→，只要分界面附近的H→为有限值，那么其在长度趋于零的有向线段上的线积分等于零，即limΔh→0∫cbH→·dl→=limΔh→0∫adH→·dl→=0，所以，方程左边等于

limΔh→0∫baH→·dl→+∫cbH→·dl→+∫dcH→·dl→+∫adH→·dl→=∫baH→1·dl→+∫dcH→2·dl→=∫ΔlH→1-H→2·e→tdl≈H→1-H→2·e→tΔl    （3）

式中，由于Δl很小，可以认为H→在Δl上是均匀的，因此有上述约等式。

在bc=da=Δh→0条件下，方程右边表示为limΔh→0∫ΔSJ→·dS→+∫ΔSD→t·dS→，其中，limΔh→0∫ΔSJ→·dS→=∫ΔllimΔh→0ΔhJ→·e→pdl=∫ΔlJ→S·e→pdl，由于D→随时间连续变化，则D→t也为有限值，则limΔh→0∫ΔSD→t·dS→=0，所以方程右边等于

limΔh→0∫ΔSJ→·dS→+∫ΔSD→t·dS→=∫ΔlJ→S·e→pdl≈J→S·e→pΔl        （4）

式中，又由于Δl很小，可以认为J→S在Δl上是均匀的，因此有上述约等式。

由（3）、（4）可得

H→1-H→2·e→t=J→S·e→p           （5）

H1t-H2t=JSp            （6）

為了更好地理解该结论，将H1t，H2t和JSp标注在图2上，可以看出H1t和H2t分别为H→1和H→2在e→t上的投影，JSp为J→S在e→p上的投影。这也说明了J→S与e→p方向可以不一致。由于J→S垂直于H→1和H→2，而e→p是小矩形回路abcda的法向单位矢量，所以H→1和H→2可以与小矩形回路abcda不共面。注意到，分界面两侧的H→在e→t上的投影之差等于面电流密度在与e→t垂直的e→p上的投影。

由于H→1-H→2·e→t=H→1-H→2·e→p×e→n=e→n×H→1-H→2·e→p，所以由式（5），

e→n×H→1-H→2·e→p=J→S·e→p，因此可得

e→n×H→1-H→2=J→S          （7）

为了更好地理解该结论，e→n×H→1=e→JSe→n×H→1=e→JSH→1sinθ1，e→n×H→2=e→JSe→n×H→2=e→JSH→2sinθ2，如圖3所示，将e→n×H→1，e→n×H→2和J→S标注在图3上，可以看出e→n×H→1和e→n×H→2分别为H→1和H→2在与J→S垂直的方向上的投影，并且投影之差等于面电流密度大小。

式（6）和式（7）是磁场强度矢量H→的切向边界条件的两种表达式，下面结合图4说明这两种表达式之间的区别和联系。表达式一中的切向方向是指与小矩形回路abcda的法向单位矢量e→p的垂直方向，即e→p×e→n方向;表达式二中的切向方向是指与面电流J→S垂直的方向，即e→JS×e→n。如图4所示，当小矩形回路abcda的法向单位矢量e→p与面电流J→S方向一致时，有H1t=e→n×H→1，H2t=e→n×H→2，JSp=J→S;当小矩形回路abcda的法向单位矢量e→p与面电流J→S方向不一致，存在一个夹角θ时，有H1t=e→n×H→1cosθ，H2t=e→n×H→2cosθ，JSp=J→Scosθ，即两种表达式中的切向分量以及对应垂直方向上的电流密度都是投影的关系。最后一句话总结：如果两种媒质的分界面上存在面电流，使磁场强度矢量H→的切向分量不连续。同样的过程可以求得电场强度矢量E→的切向边界条件：电场强度矢量E→的切向分量连续。

2 结论

两种媒质分界面上的面电流使磁场强度矢量H→的切向分量不连续，而电场强度矢量E→的切向分量总是连续的。本文借助三维示意图使读者可以直观地理解切向边界条件的两种表达式。磁感应强度矢量H→的切向分量与切向方向的选择有关，而切向分量之差等于投影到与切向方向垂直的方向上的电流密度。当e→p（e→p=e→n×e→t）与面电流J→S方向一致时，两种表达式相同（仅考虑矢量的模）;当e→p与面电流J→S方向不一致时，两种表达式中的切向分量以及对应垂直方向上的电流密度都是投影的关系。

参考文献：

[1]谢处方，饶克谨，杨显清，赵家升原著，杨显清，王园等修订，《电磁场与电磁波》（第5版），2019，10，高等教育出版社，ISBN：978-7-04-052518-2

[2]Bhag Singh Guru等著，周克定，张孝文，董天临，辜承林译，《电磁场与电磁波》，2000，8，机械工业出版社，ISBN：7-111-07761-X

[3]阳小明，李天倩著，《电磁场与电磁波》，2016，9，机械工业出版社，ISBN：978-7-111-54865-2