“见”垂直 “想”勾股 “用”方程

文 徐 阳

勾股定理是各省市中考的必考内容。同学们要想熟练掌握并应用勾股定理，首先要分析图形的特征，理清线段之间的关系，再将条件汇集到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理求解。

例1（2020·江苏苏州）如图1，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD，若E是AD的中点，则CE=_____。

【解析】条件中仅有的已知线段AB与待求线段CE有何关联？因为AD⊥BC，所以AB与CE分别是Rt△ABD与Rt△CDE的斜边，在直角三角形中已知两边，可利用勾股定理求第三边。本题中虽然两组直角边的长度都未知，但给出了线段之间的关系。我们不妨用方程思想，设DE=x，DC=y，则AD=2x，BD=2y，在Rt△ABD中，AB2=（2x）2+（2y）2=4x2+4y2=4，在Rt△CDE中，CE2=x2+y2=1，即CE=1。

图1

图2

【变式】如图2，在△ACB中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点M、N，AN=5，AM=4，则NC的长度为_____。

【解析】连接BN，由垂直平分线的性质定理，得到AN=BN这一组等量关系，并可得Rt△AMN与Rt△BMN中的所有线段长，但对于Rt△ACB与Rt△NCB中的线段，依旧无法直接运用勾股定理求解。仿照例题思路，设NC=x，则在 Rt△NCB中，CB2=52-x2，在 Rt△ACB中，（52-x2）+（5+x）2=82，解得x=1.4。我们用了两次勾股定理来建立方程解决问题，那么本题是否有其他解法呢？

解法2：Rt△ACB与Rt△NCB有公共边BC，我们可以借助BC搭桥梁来构建方程。即在 Rt△ACB中，AB2-AC2=BC2，在 Rt△NCB中，NB2-NC2=BC2，由此可得AB2-AC2=NB2-NC2，然后列方程求解即可。

解法3：由垂直可以联想到勾股定理，也可以联想到三角形面积。在△ANB中，MN是AB边上的高且这两条线段长度均可求，若将CB看作AN边上的高，利用面积法也可以快速求解，即由此可求出BC。注意要求的是NC的长，切勿答非所问。

【小结】上述问题主要应用了方程思想。方程思想是初中阶段一种非常重要的解题思想，有助于同学们在杂乱的条件中理清线段之间的数量关系，进而找到解决问题的方法。解法2可用来解决在锐角三角形或钝角三角形中，已知三边，求高的问题。高线可构造出两个有公共边的直角三角形。利用公共高搭桥梁找到等量关系，最后运用勾股定理列方程即可。在垂直条件较多的图形中，同学们还可以考虑使用面积法来求解，要特别注意钝角三角形在形外的高线。当然，随着学习的深入，上述问题还会有其他的解法，遇见垂直也将引发我们更多的联想。同学们要慢慢习得“由一片叶子，想到一棵树，再想到一片森林”的本领。