初中数学教学中的变式训练之我见

（甘肃省和政县第五中学，甘肃 和政 731200）

数学教学从本质上来说不同于其他学科，它以培养学生逻辑思维和计算能力为主，同时它也是生活中的一个非常重要的工具.因此，作为数学教学工作者，务必以“培养学生能力”和“教会学生用数学”为主要目标去实施教学.那么如何才能做到这两点呢？我想，应该在有限的教学时间内，加强学生辨析思维能力，通过教学中的不断变化，让学生真正掌握数学知识的本质，从而达到提高课堂效率且又做到对人的培养的双重任务！下面将通过几个案例，来谈谈变式训练给课堂高效带来的益处.

案例一八年级上册第二章第五节“等腰三角形的轴对称性”第二课时.

例题如图1，在△ABC 中，AB=AC，角平分线BD、CE 相交于点O.那么OB与OC 相等吗？请说明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）.

又因为BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，

所以∠1=12 ∠ABC，∠2=12 ∠ACB，

所以∠1=∠2.

在△OBC 中，因为∠1=∠2，

所以OB=OC（等角对等边）.

变式有3 种方式：（1）条件改变，结论不变；（2）条件不变，结论改变；（3）条件和结论都改变.

下面通过第一种方式（条件改变，结论不变）对上题进行变化.

变式1 如图1，在△ABC 中，AB=AC，两腰上的中线BD、CE 相交于点O.那么OB 与OC 相等吗？请说明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）.

又因为BD、CE 分别是腰AC、AB 上的中线，

所以AD=DC，AE=EB.

由AB=AC，得BE=CD（等式的性质）.

在△EBC 和△DCB 中，EB=DC（已求），∠ABC=∠ACB（已求），BC=CB（公共边），

所以△EBC ≌△DCB（SAS）.

所以∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）.

在△OBC 中，因为∠1=∠2，

所以OB=OC（等角对等边）.

变式2 如图2，在△ABC 中，AB=AC，两腰上的高BD、CE 相交于点O.那么OB 与OC 相等吗？请说明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）.

又因为BD、CE 分别是腰AC、AB 上的高，

所以∠3=∠4=90°.

在Rt △EBC 和Rt △DCB 中，

∠ABC 与∠2 互余；∠ACB 与∠1 互余，

所以∠1=∠2（等角的余角相等）.

在△OBC 中，因为∠1=∠2，

所以OB=OC（等角对等边）.

上述两个变式还可以用其他方法求解说明理由，这里就不细说，只看两个变式的效果.

这里只对条件进行了改变，本题的主要设计意图在于希望学生能通过“等角对等边”的性质去解决有关三角形的边长相等问题，条件给出角平分线，学生就能很容易地想到角平分线定义的使用，从而想到课堂教学中跟角有关的内容：等角对等边.但是经过两个变式，将角平分线变成了与其类似的中线和高，既让学生回忆了三角形的“三线”知识，又给了学生一定的思考空间：“虽然条件改了，但是结论没变，既然还是判断OB 和OC 的关系，只要说明∠1=∠2，就可以解决问题.”结果很明显，这样的变式，既能回顾学生以前的知识，又能调动学生的积极性，还能巩固运用本节课的主要内容，一举三得.

本题还可以将结论进行改变.

变式3 如图1，在△ABC 中，AB=AC，角平分线BD、CE 相交于点O.那么OD 与OE 相等吗？请说明理由.

解OE=OD.

在△ABC 中，因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）.

又因为BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，

所以∠1=12 ∠ABC，∠2=12 ∠ACB.

所以∠1=∠2.

在△OBC 中，因为∠1=∠2，

所以OB=OC（等角对等边）.

在△EBC 和△DCB 中，

∠ABC=∠ACB（已求），BC=CB（公共边），∠2=∠1，

所以△EBC ≌△DCB（ASA）.

所以CE=BD.

由OB=OC，得OE=OD（等式的性质）.

变式3 就是变式的第二种方式，条件不变，结论改变.经过上述两次变式，学生基本能够掌握解决此题的方法：等角对等边.再通过此次变式，让学生能够充分感受数学的乐趣，在乐趣中掌握所学知识，此乃教学的真谛.

案例二八年级上册第三章勾股定理.

例题Rt △ABC，若以三边长为边向外作正方形，如图3，S1、S2、S3，则S1、S2、S3 有怎样的关系？

分析本题通过《勾股定理》“a2+b2=c2”就可以得到面积关系S1+S2=S3.

变式1Rt △ABC，若以三边长为直径向外作半圆形，如图4，S1、S2、S3，则S1、S2、S3 有怎样的关系？

解S1=π·（a2）2=π4a2，

S2=π·（b2）2=π4b2，S3=π·（c2）2=π4c2.

因为a2+b2=c2，

所以π4a2+π4b2=π4c2.

所以S1+S2=S3.

变式2Rt △ABC，若以三边长为斜边向外作等腰直角三角形，如图5，S1、S2、S3，则S1、S2、S3 有怎样的关系？

解S1=14a2，S2=14b2，S3=14c2.

因为a2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2，

所以S1+S2=S3.

本题意在让学生理解外围图形面积的关系与直角三角形的三边长有关，体现勾股定理的一个应用.不过，通过对外围图形的改变，加强学生计算面积的能力，并提高学生分析问题的内在联系的能力.要讨论外围面积的关系，必须通过直角三角形的三边长以及勾股定理来转化，思考方向还是比较固定，学生容易得出结论.其实本题还可以变式为“Rt △ABC，若以三边长为边向外作等边三角形”，结论仍然成立，教师可以指导学生课后自己探究.