刚体教学中对转矩和角动量的思考

温利平

摘 要：在经典力学中，转矩和角动量是特别重要的概念，也是很不容易理解的概念。直接讲质点或质点系的定点或定轴转动，难免会艰涩不易懂。本文将其与力学中的运动学和动力学联系起来，对定点转动和定轴转动的转矩和角动量进行了分析，使关于转动的教学更顺畅更容易理解。

关键词：角动量;转矩

一般物体不仅会平动，还会转动、晃动或者弯曲，为了研究的方便，我们可以使问题简化一些，把刚体作为研究对象，刚体实际上是一种理想模型，它在运动的时候形状是保持不变的。如果我们不考虑刚体质心的运动，那么刚体就只剩下转动了。如果物体以某个固定轴转动，则该转动叫定轴转动。那么，用什么物理量来描述物体的转动呢？我们可以在物体上描一个点当作记号，只要知道这个点运动到什么地方，就能准确地说出物体的位置，而描述这个点的位置，只要一个角度就够了，因此，我们要描述刚体的定轴转动，只要研究角度随时间的变化关系就可以了。

一、从运动学角度描述转动

为了研究转动，就要观察物体转过的角度，即从某一个时刻到另一个时刻整个物体位置的角变化。类似于一维运动中描述物体的位置和速度那样，平面转动中描述物体的角位置和角速度。在一维运动中描述物体在某一时刻运动的快慢用瞬时速度表示，在平面定点转动中描述质点在某一时刻的转动快慢用转动速度表示，把角速度对时间再次微分，就得到了角加速度，此项与平动中的加速度对应。

如下图所示，一个质点经过时间后，从P点绕着坐标原点以半径转到了Q点，通过数学知识我们可以得到以下方程式：

……（1）

……（2）

如果物体的角速度恒定，通过以上两个式子可求出：;直角坐标系中速度的矢量就可以写成：;速度的大小就可以写成。这也是匀速圆周运动中线速度与角速度的关系，对于这个关系也不难理解，因为质点在时间内走过的路程是弧长，那么单位时间内走过的路程就是。

以上是我们通过把转动运动学和质点运动学规律联系起来后，发现了线量和角量的关系，其理论基础是：质点的角度在发生变化时，它的位置矢量在坐标轴上的投影也会随之发生变化。

二、从动力学角度描述转动

既然是动力学，就要引入一个新的物理量“力”。首先，我们要找到一个“物理量”，这个物理量对转动的作用就像力对线性运动的作用，换句话说，就是力是改变物体平动运动状态的原因，那么哪个物理量是改变物体转动状态的原因。要使一个物体转动，就需要一个“扭转力”，我们可以先叫它“转矩”（torque一词起源于拉丁文torquere，是扭转的意思），刚体的定轴转动可以类比质点的一维运动，对一维运动，质点在力的作用下发生位移，则该力对质点做功了，同理，如果刚体在转矩的作用下发生了角位移，则转矩就对刚体做功了。举例：某个力作用在刚体上某一点，如果刚体定轴转过一个很小的角度，那么如何来求这个力做的功[1]？

很明显……（3）

结合（1）（2）式，功也可以表示成

……（4）

（4）式表明功可以表示成质点转过的角度乘以“力和距离的组合”，这个括号内的力和距离的组合就是我们前面提到的转矩。转矩一般也叫力矩，其中“矩”是用离开轴的距离多少增加權重的。由以上分析可得出：功除了可以定义为力和位移的点乘，也可以定义为转矩乘角度。转矩并不是一个新概念，它借助于力的定义并与牛顿力学相关。

在平面运动中，如果刚体受到多个力产生的转矩，也是适用的，转矩可以代数相加。功就等于总转矩M和的乘积。对二维转动有

……（5）

特别强调：（5）式是对给定转轴而言的，如果选择的转轴变了，一般情况下转矩的值也会改变。当然转矩还有一个有趣的公式：

三、以质点为例谈谈角动量的引入

牛顿第二定律表明，合外力是一群质点总动量的变化率。以此类比，合外转矩是质点系的总角动量的变化率。假设一个质点绕着o点做平面曲线运动，半径r可以改变，就像地球绕着太阳运动一样。

根据转矩公式（5），再结合牛顿第二定律有

上式表明转矩实际上是某个量随时间的变化率，我们给这“某个量”起个名字就叫角动量。

……（6）

（6）式对相对论同样成立。很对称和巧妙的是，转矩是用力的分量表示，角动量是用线动量的分量表示。

从以上推论可知：角动量不能反映质点离开原点的快慢，但能反映出质点围绕原点转动的快慢。即，角动量只和动量的切向分量有关，这也说明角动量的大小不仅和动量有关，还和动量臂有关。，因为涉及到位置矢量，所以角动量和轴的位置也有关系。

四、对角动量守恒的应用拓展

对一个固定点或固定转轴，当物体不受力矩或合外力矩为零时，物体的角动量保持不变，这个结论就叫角动量守恒定律[2]。物体的角动量可以看成两部分之和，一部分来自物体质心的运动，另一部分来自于物体相对质心的运动。如果考虑大量质点在有内力和外力作用的同时绕着一个固定轴转动的问题，我们可以应用牛顿第三定律得到一个结果：两个相互作用力具有相同的力臂，力的方向却相反，所以由它们产生的两个转矩等大反向，内转矩之和为零，即，内转矩不影响质点系的转动效果。那么，由此可以得到一个定理：质点系相对于任何轴的角动量的变化率和质点系相对于该轴的外转矩之和是相等的。我们可以把物理中常常提到的刚体当成质点系来处理。因为刚体的运动是大量质点运动的集合。

（一）开普勒定律就是角动量守恒定律的语言表述。对于一个系统来说，如果系统总的外转矩为零，则这个系统的总角动量不变，这就是角动量守恒定律。角动量守恒定律在经典力学中很重要。以行星围绕太阳运动为例，行星的转矩为零，因此角动量守恒。行星围绕太阳运动的面积变化率与角动量成正比，因此行星在相等时间内扫过的面积相等，这正是开普勒第二定律的内容。

（二）陀螺仪是角动量守恒的一个很好的例证。陀螺仪有两个特性：进动性和定轴性，这两种特性都是建立在角动量守恒的原则下[3]。陀螺仪的转动惯量不随时间变化，如果将陀螺仪的转轴指向某一个方向，当转子绕自身的对称轴以固定角速度高速旋转时，无论如何改变框架的方位，其中心轴空间取向始终保持不变，从而具有导航能力[4]。随着科技的发展，陀螺仪从最早的航海导航到现在的航空和国防工业。陀螺仪的基本特点是它的进动性和稳定性。利用这些性质，陀螺仪能被用来作信号传感器，它能提供准确的位置信息、速度和加速度信息，这些信息被用来控制导弹或探测火箭的飞行姿态和飞行轨道。陀螺仪也可以作为稳定器被安装在卫星相机上。

在经典力学中，角动量已经很重要了，我们都知道，对孤立运动体系而言，它的总角动量是常量。当然，在某些情况下或一些约束条件下，非孤立系统的总角动量也可以是一个常量。对于角动量在经典力学中的这些性质，在量子力学中有等价结果。比如有经典类比的轨道角动量，比如没有经典类比的自旋角动量（属于基本粒子的内禀角动量）。当然，量子力学中的角动量理论完全建立在一些对易关系上，这就意味着角动量的三个分量不可能同时测量。

由此可知，无论是经典力学还是量子力学，角动量都是一个非常值得思考和重视的物理量。

参考文献

[1] 费曼，莱顿，桑兹.费恩曼物理学讲义[M].上海：上海科学技术出版社，2013：189-191.

[2] 马文蔚，周雨青.物理学[M].北京：高等教育出版社，2014：119-126.

[3] 邵怀华，卓玉霖.陀螺进动中的“角动量不守恒”问题[J].物理与工程，2018，28（6）：39-42.

[4] 王志刚，张立换，徐建军.角动量理论在现代技术中的应用[J].现代物理知识，2017（1）：10-13.