欧拉方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)+6的正整数解

曹盼盼，赵西卿

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

长期以来，欧拉函数解的问题一直是数论领域的一个引人关注的课题[1].在已有的四元欧拉函数的研究基础之上，本研究团队对其添加了常数且常数为完全数这一方面的研究产生了极大的兴趣.这方面的研究会对后期任意常数的添加提供一种研究方法.对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数.欧拉函数在数论中有着重要的作用，近年来，有关欧拉函数的性质以及欧拉方程吸引了很多学者的兴趣[2].如张四保[3]、孙树东[4]、鲁伟阳等[5]分别研究了当k=3、k=7、k=5时方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))可解性问题；许霞等[6]、郭瑞等[7]、张四保等[8]等分别研究了欧拉方程φ(xy)=ak(φ(x)+φ(y))当a=2、a=3、a=4时的正整数解的问题；张明丽等[9]讨论了φ(xy)=22·3(φ(x)+φ(y))欧拉方程的正整数解的问题；张四保[10]还研究了当k=4时欧拉函数方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整数解；杨张媛等[11]研究了三元变系数欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)的全部正整数解；申江红等[12]研究了三元变系数的欧拉方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-14的全部正整数解；杨张媛等[13]研究了四元欧拉函数φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)的正整数解，等.在此研究的基础上，本文将研究以下欧拉函数：

φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)+6.

(1)

1 主要引理

引理3[7]对任意正整数n，n≥3时，φ(n)必为偶数.

2 定理与证明

定理1 欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)+6的正整数解有：(a,b,c,d)=(8,1,5,1),(12,1,5,1),(5,1,8,1),(5,1,12,1),(7,1,3,1),(7,1,4,1),(7,1,3,2),(7,2,3,1),(7,1,6,1),(9,1,4,1),(14,1,3,1),(4,3,5,1),(3,4,5,1).

同理可得φ(a)+2φ(b)+10≥φ(c)[φ(a)φ(b)-3]≥φ(a)φ(b)-3，即有(φ(a)-2)(φ(b)-1)≤15.

因此，可以分以下几种情况讨论.

情形1 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)<0时，则有φ(a)=1，φ(b)≥2或者φ(a)≥4，φ(b)<1(不存在).

情形1.1 当φ(a)=1，φ(b)≥2时，有:

φ(abcd)=1+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)+7≥φ(b)φ(c)φ(d)，

即3φ(c)+4φ(d)+7≥φ(b)[φ(c)φ(d)-2]≥φ(c)φ(d)-2，

则有(φ(c)-4)(φ(d)-3)≤21.因此，可以继续分情况讨论.

1) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)<0时，则有φ(c)=1,2，φ(d)≥4或者φ(c)≥6，φ(d)=1,2.

取φ(d)=4时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×4+6=26+2φ(b)≥4φ(b)，得φ(b)≤13，即2≤φ(b)≤13.由于a=1,2，c=1,2，d=5,8,10,12，经检验，方程(1)无解.

取φ(d)=6时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×6+6=34+2φ(b)≥6φ(b)，得φ(b)≤8，即2≤φ(b)≤8.由于a=1,2，c=1,2，d=7,9,14,18，经检验，方程(1)无解.

取φ(d)=8时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×8+6=42+2φ(b)≥8φ(b)，得φ(b)≤7，即2≤φ(b)≤6.由于a=1,2，c=1,2，d=15,16,20,24,30，经检验，方程(1)无解.

取φ(d)=10时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×10+6=50+2φ(b)≥10φ(b)，得φ(b)≤6，即2≤φ(b)≤6.由于a=1,2，c=1,2，d=11,22，经检验，方程(1)无解.

取φ(d)=4时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×2+4×4+6=29+2φ(b)，显然，此式不成立，所以方程(1)无解.

取φ(b)=2时，有φ(abcd)=1+2×2+3φ(c)+4×1+6=15+3φ(c)，可得φ(c)=1与φ(c)≥6矛盾，所以方程(1)无解.

取φ(b)=4时，有φ(abcd)=1+2×4+3φ(c)+4×1+6=19+3φ(c)，可得φ(c)=1与φ(c)≥6矛盾，所以方程(1)无解.

取φ(b)=6时，有φ(abcd)=1+2×6+3φ(c)+4×1+6=23+3φ(c)，可得φ(c)=1与φ(c)≥6矛盾，所以方程(1)无解.

取φ(c)=6时，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×6+4×2+6=33+2φ(b)，显然，此式不成立，所以方程(1)无解.

取φ(c)=8时，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×8+4×2+6=39+2φ(b)，显然，此式不成立，所以方程(1)无解.

取φ(c)=10时，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×10+4×2+6=45+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

取φ(c)=12时，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×12+4×2+6=51+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

取φ(c)=16时，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×16+4×2+6=63+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

取φ(c)=18时，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×18+4×2+6=69+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

2) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=1时，则有φ(c)=5(不存在)，φ(d)=4，此时方程(1)无解.

3) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=2时，则有φ(c)=5，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=4.

取φ(c)=6，φ(d)=4时，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×6+4×4+6=41+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

4) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=4时，则有φ(c)=5，φ(d)=7(不存在)或者φ(c)=8，φ(d)=4或者φ(c)=6，φ(d)=5(不存在).

取φ(c)=8，φ(d)=4时，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×8+4×4+6=47+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

5) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=6时，则有φ(c)=5，φ(d)=9(不存在)或者φ(c)=10，φ(d)=4.

取φ(c)=10，φ(d)=4时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×10+4×4+6=53+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

6) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=8时，则有φ(c)=5，φ(d)=11(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=7(不存在)或者φ(c)=8，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=12，φ(d)=4.

取φ(c)=12，φ(d)=4时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×12+4×4+6=59+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

7) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=10时，则有φ(c)=5，φ(d)=13(不存在)或者φ(c)=14，φ(d)=4.所以，方程(1)无解.

8) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=12时，则有φ(c)=5，φ(d)=15(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=9(不存在)或者φ(c)=10，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=16，φ(d)=4.

取φ(c)=16，φ(d)=4时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×16+4×4+6=71+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

9) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=16时，则有φ(c)=5，φ(d)=19(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=11(不存在)或者φ(c)=8，φ(d)=7(不存在)或者φ(c)=12，φ(d)=5或者φ(c)=20，φ(d)=4.

取φ(c)=20，φ(d)=4时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×20+4×4+6=83+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

10) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=18时，则有φ(c)=5，φ(d)=21(不存在)或者φ(c)=22，φ(d)=4.

取φ(c)=22，φ(d)=4时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×22+4×4+6=89+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

11) 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=20时，则有φ(c)=5，φ(d)=23(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=13(不存在)或者φ(c)=14，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=24，φ(d)=4.

取φ(c)=24，φ(d)=4时，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×24+4×4+6=95+2φ(b)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

情形2 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=1时，则有φ(a)=3，φ(b)=2(不存在)，所以方程(1)无解.

情形3 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=2时，则有φ(a)=3，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=2.

1) 当φ(c)=1时，有φ(abcd)=4+2×2+3×1+4φ(d)+6=17+4φ(d)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

2) 当φ(c)=2时，有φ(abcd)=4+2×2+3×2+4φ(d)+6=20+4φ(d)≥16φ(d)，可得φ(d)=1.所以φ(abcd)=24，abcd=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.由于a=5,8,10,12，b=3,4,6，c=3,4,6，d=1,2，经计算，方程(1)有解(a,b,c,d)=(5,3,3,1),(5,3,6,1),(5,3,3,2),(5,6,3,1),(8,3,3,1),(10,3,3,1).

情形4 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=4时，则有φ(a)=3，φ(b)=5(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=6，φ(b)=2.

1) 当φ(c)=1时，有φ(abcd)=6+2×2+3×1+4φ(d)+6=19+4φ(d)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

2) 当φ(c)=2时，有φ(abcd)=6+2×2+3×2+4φ(d)+6=22+4φ(d)≥24φ(d)，可得φ(d)=1.所以φ(abcd)=26，该值不存在，方程(1)无解.

情形5 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=6时，则有φ(a)=3，φ(b)=7(不存在)或者φ(a)=8，φ(b)=2.

1) 当φ(c)=1时，有φ(abcd)=8+2×2+3×1+4φ(d)+6=21+4φ(d)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

情形6 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=8时，则有φ(a)=3，φ(b)=9(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=5(不存在)或者φ(a)=6，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=10，φ(b)=2.

1) 当φ(c)=1时，有φ(abcd)=10+2×2+3×1+4φ(d)+6=23+4φ(d)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

情形7 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=10时，则有φ(a)=3，φ(b)=11(不存在)或者φ(a)=12，φ(b)=2.

1) 当φ(c)=1时，有φ(abcd)=12+2×2+3×1+4φ(d)+6=25+4φ(d)，显然，此式不成立，方程(1)无解.

情形8 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=12时，则有φ(a)=3，φ(b)=13(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=7(不存在)或者φ(a)=8，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=14，φ(b)=2(不存在).所以方程(1)无解.

3 结语

基于本文对四元变系数的欧拉函数方程的研究方法，对以后四元以及四元以上的欧拉方程及添加常数的研究提供了一种有效的方法.