完美和幻方的定义及其构造方法

张 婧,刘兴祥,施 钊

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

幻方最早记载于春秋时期的《大戴礼》；南宋时期，杨辉在《续古摘奇算法》中编出3～10阶幻方.针对幻方问题的研究,业界学者进行了诸多探讨研究.幻方是一类特殊的矩阵，因此，可以用研究矩阵的方法研究幻方.刘兴祥等[1]给出幻方的矩阵化等价定义，在文献[2-3]中将幻方与拉丁方结合，分别将幻方分解为拉丁方，并给出了构造偶数阶同心拉丁方的方法，使幻方的定义规范化，拓展了拉丁方与幻方的联系，但是并未考虑到具有更强幻性的完美和幻方.何敏梅等[4-6]研究了双偶数阶幻方的构造方法，分别给出双偶数(4k)阶连元幻方、始元幻方及拉丁方的构造方法.使双偶数阶幻方构造体系更加完整.但奇数阶及单偶数阶幻方的构造还有待完善.郭萍等[7]将始元行和及列和幻方分为行奇列奇、行奇列偶、行偶列奇、行偶列偶4类，并给出构造方法.詹森[8]利用两个准幻方构造k2阶完美幻方.王正元[9]利用新定义的矩阵乘法运算构造完美幻方.曹小琴[10]用二进制构造2n+2阶完美幻方，这些构造方法便于研究者构造k2阶、m×n阶及2n+2完美幻方，但这仅能构造这几类完美幻方，太过单一，有局限性.徐博文等[11]是幻方理论在HEVC熵编码加密方案的应用.高治源[12]介绍了幻方的应用前景，显示幻方的理论化研究是有意义的且很有必要.

1 预备知识

首先给出4条有关幻方的定义，包含广义上和幻方的定义及始元和幻方、连元和幻方及拉丁和幻方的定义.

定义1[1]设矩阵A=(aij)m×n∈Zm×n,m,n∈N*,若矩阵A满足以下条件:

则称矩阵A=(aij)m×n为Z上的n阶和幻方,幻和记为S.

定义2[1]设矩阵A=(aij)n×n∈{1,2,…,n2},n∈N*,若矩阵A满足以下条件:

则称矩阵A=(aij)n×n为Z上的n阶始元和幻方,幻和记为S.

定义3[1]设矩阵A=(aij)n×n∈{k+1,k+2,…,k+n2},n∈N*,若矩阵A满足以下条件:

则称矩阵A=(aij)n×n为Z上的n阶连元和幻方,幻和记为S.

定义4[5]设矩阵A=(aij)n×n∈S,n∈N*,其中S={x1,x2,…,xn}，∀i,j∈{1,2,…,n}，有i≠j,则ai≠aj,若矩阵A满足以下条件:

① ∀i,j,k∈{1,2,…,n},当j≠k时，aij≠aik; ② ∀i,j,k∈{1,2,…,n},当i≠k时，aij≠akj; ③ ∀i,j∈{1,2,…,n},当i≠j时，aii≠ajj; ④ ∀i,j∈{1,2,…,n},当i≠j时，ai(n+1-i)≠aj(n+1-j).

则称矩阵A=(aij)m×n为Z上的n阶拉丁和幻方,幻和记为S.

2 主要结论

幻方的研究已成体系，但完美幻方还需深入研究.那么类比幻方的研究，归纳总结出完美和幻方及完美始元和幻方、完美连元和幻方及完美拉丁和幻方的定义并推理出用两个奇数(2n+1,n∈N+)阶完美拉丁方构造完美和幻方的新方法.

定义5 设矩阵A=(aij)n×n∈Zn×n，n∈N*，q≡n+1-u-i(modn)，若矩阵A满足以下条件：

则称矩阵A=(aij)n×n为Z上的n阶完美和幻方,幻和记为S.

定义6 设矩阵A=(aij)n×n∈{1,2，…，n2}，n∈N*，∀u∈{0,1,…,n-1}，记p≡i+u(modn),q≡n+1-u-i(modn)，若矩阵A满足以下条件：

则称矩阵A=(aij)n×n为Z上的n阶始元完美和幻方,幻和记为S.

定义7 设矩阵A=(aij)n×n∈{k+1,k+2,…,k+n2}，n∈N*，∀u∈{0,1,…,n-1}，记p≡i+u(modn),q≡n+1-u-i(modn)，若矩阵A满足以下条件：

则称矩阵A=(aij)m×n为Z上的n阶连元完美和幻方,幻和记为S.

定义8 设矩阵A=(aij)n×n∈S,n∈N*,其中S={x1,x2,…,xn}，∀i,j∈{1,2,…,n},有i≠j,则ai≠aj,∀u∈{0,1,…,n-1},记p≡i+u(modn),q≡n+1-u-i(modn),若矩阵A满足以下条件：

① ∀i,j,k∈{1,2,…,n},当j≠k时，aij≠aik； ② ∀i,j,k∈{1,2,…,n},当i≠k时，aij≠akj； ③ ∀i,j∈{1,2,…,n},当i≠j时，aip≠ajp； ④ ∀i,j∈{1,2,…,n},当i≠j时，aiq≠ajq.

则称矩阵A=(aij)m×n为Z上的n阶完美拉丁和幻方,幻和记为S.

则:

首先证明矩阵A的行和、列和、主副对角线和及其与主副对角线平行的线上的2k+1个元素的和相等.

根据矩阵A中元素的构造知矩阵A的每行、每列、及与主对角线、副对角线平行的2k+1个元素都各不相同且为0～2k,2k+1个整数的全排列,且和是2k2+k,则矩阵A为完美幻方.

再证明矩阵B的行和、列和、主副对角线和及其与主副对角线平行的线上的2k+1个元素和相等.

根据矩阵B中元素的构造知矩阵B的各行、各列及与主对角线、副对角线平行的2k+1个元素1～(2k+1),2k+1个正整数的全排列,行和为(2k+1)·(k+1)=2k2+3k+1,则矩阵B为完美幻方.

最后证明矩阵C为始元完美和幻方.

根据矩阵A和矩阵B都是完美幻方,则矩阵C=(2k+1)·A+B,则矩阵C是幻和为4k3+6k2+4k+1的完美和幻方,再证矩阵C为始元完美和幻方,及证明矩阵C中的元素两两互不相同,根据矩阵A和矩阵B的构造,发现矩阵C中的元素是1～(2k+1)2,(2k+1)2个元素的全排列,则矩阵C中的元素两两互不相同的,则矩阵C为始元完美和幻方.

3 算例

举例利用两个5阶完美拉丁和幻方A及B构造出5阶完美和幻方C，以便理解上述定理.已知：

矩阵A为幻和为10的完美拉丁和幻方,矩阵B为幻和为15的完美拉丁和幻方,矩阵C为幻和为65的完美和幻方.