追溯概率起源 研究中考新题

文 崔恒刘

概率论是很有文化底蕴（实际背景很容易理解）的一门学科。早期的埃及人为了忘记饥饿，经常聚集在一起玩一种叫作“猎犬与胡狼”的游戏，实际上就是今天的掷骰子游戏。相对面的数字之和是7 的骰子大约产生于公元前1400 年的埃及，骰子就是游戏中常用的随机发生器，这类游戏也叫作机会性游戏。17世纪中叶，人们开始对机会性游戏的数学规律进行探讨。它的发展与数学史上一些伟大的名字相联系，如帕斯卡、费马、惠更斯、詹姆斯、伯努利、棣莫弗、拉普拉斯等。

1654 年，费马与帕斯卡的通信中关于分赌注问题的讨论被公认为是概率论诞生的标志。问题是这样的：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了。当赌徒A赢a局（a＜s），而赌徒B赢b局（b＜s）时，赌博被迫中止。应该怎样分配赌注才合理？”三年后，惠更斯用自己的方法解决了这一问题，并写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，奠定了我们今天所学的古典概率基础。

有意思的是，在近几年的中考试题中，也出现了这类背景隐含着概率起源的考题。

如2018年连云港市第21题：汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜。假如甲、乙两队每局获胜的机会相同。

（1）若前四局双方战成2∶2，那么甲队最终获胜的概率是_______；

（2）现甲队在前两局比赛中已取得2∶0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？

【分析与解】（1）两队之间进行五局比赛，前四局双方战成2∶2，说明已经比完四局，还剩下一局定胜负，而甲、乙两队旗鼓相当，每局获胜的机会相同，根据概率的意义，甲队最终获胜的概率是

（2）第（2）问同学们容易有误解，错误地认为甲队最终获胜的概率也是这也是概率起源时备受争议的观点之一。其实根据比赛规则“五局比赛必须全部打完”，已经比完两局，还有三局，由于甲、乙两队每局获胜的机会相同，也就是胜负的可能性一样，因此列出树状图，帮助找到所有等可能的结果：

如图可知，剩下的三局比赛共有8 种等可能的结果，其中甲至少胜一局有7 种，所以P（甲队最终获胜）=

【点评】纯粹从考题看，本题是考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，从中选出符合事件A或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率。透过试题看本质，我们可以感觉到本题背景隐含着概率的起源。

为加深同学们对所求概率必须在“等可能”的条件下的理解，再看一例：两枚质地相同的正四面体，它们的各面上分别标明数字1、2、3、4，如同时投掷这两枚正四面体骰子，则着地面的点数之和等于5的概率为多少？

【错解】因为着地面点数之和最小为2，最大为8，共有7 种不同的结果，所以着地面的点数之和为5的概率是

【错解分析】着地面点数之和是2、3、4、5、6、7、8 的结果不是等可能的，我们列出表格：

___________________12______3______4____________1_________2_________3_________4和为2__和为3__和为4__和为5__和为3__和为4__和为5__和为6__和为4__和为5__和为6__和为7__和为5_和为6_和为7_和为8_

从表格中可看出：同时投掷两个正四面体骰子，共有16种等可能情况，和为2的情况只有1种，和为3的情况有2种，和为4的情况有3种，和为5的情况有4种，和为6的情况有3 种，和为 7 的情况有 2 种，和为 8 的情况有 1种。因此着地面点数之和是2、3、4、5、6、7、8的结果不是等可能的。

【正解】列表如上，从表中可看出，共有16种情况，着地面的点数之和等于5的共有4种，则此种情况的概率是

【点评】利用概率公式求概率必须在有限性和等可能的前提下进行。“等可能”是一种假设，是一种理想状态。“等可能”事件具备两个特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性。我们要根据实际情况判断是否可以认为所有可能结果是等可能，要学会变换思维角度、去伪存真，将不等可能事件转化为等可能事件。如抛掷两枚硬币，将出现“一个正面、一个反面”的事件拆分成“正反、反正”两个等可能事件；摸球试验中，同颜色球不止一个时，为了体现事件的等可能性，一般需要将它们分别编号；投飞镖和转盘试验中，原题分的“块”面积不相等时，一般需要将它们再细分成等面积区域，然后求解。诸如此类，需谨慎小心，防止上当！