错中寻因 变废为宝

文 周连官

在“数据的集中趋势和离散程度”这一章，我们学习了平均数、中位数、众数、极差、方差的概念，利用好它们可以帮助我们更加有效地认识、利用数据。但在实际应用中，同学们会产生各种错误。对待这些错误，我们要分析原因，有效纠正，变废为宝，提升能力。

易错点1：基本概念掌握不到位

例1小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3。关于这组数据，下列说法正确的是（ ）。

A.中位数是36.5℃

B.众数是36.2℃

C.平均数是36.4℃

D.极差是0.3℃

【错解】A、C、D。

【错解原因】错选A是对中位数的概念理解不到位，没有把数据按要求重新排列，误认为最中间的数就是中位数；错选C 是计算出错，这组数据的平均数=36.36；错选D 是对极差的概念理解不到位，误认为是第1个数据减去最后一个数据。

【分析】把这组数据按由小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，它的中位数是36.3。由于众数是一组数据中出现次数最多的数，由此可看出这组数据中的众数是36.2。极差是一组数据中最大值与最小值的差（极差=最大值-最小值）。根据极差的意义，这组数据中的极差=36.6-36.2=0.4。因此本题选B。

【点评】解决此类问题的关键在于正确理解知识点的本质，在平时的学习过程中，经历知识的发生、发展过程，明白其前世、今生及未来，切实掌握每一个知识点的来龙去脉，才能确保灵活运用零失误。

易错点2：审题走马观花

例2 甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示：

方差0.9 1.6 1.1 0.6甲乙丙丁平均数（cm）177 178 178 179

身高更为整齐的仪仗队是（ ）。

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【错解】C。

【错解原因】错解的想法是：由于甲、乙、丙、丁4 支仪仗队队员身高的平均数是178，而乙、丙2 支仪仗队队员身高的平均数正好是178，所以在乙、丙2支仪仗队中比较方差，方差小，身高更整齐。由于丙仪仗队的方差小于乙仪仗队的方差，所以丙仪仗队的身高更整齐。

【分析】错解的根源在于读题不够细心，细读后我们能发现：题目的问题是哪支仪仗队的身高更为整齐。平均数反映一组数据的集中趋势；方差描述一组数据的离散程度，用来衡量这组数据的波动大小。根据题目的问题，关注的重点应该是方差，方差越小，仪仗队的身高越整齐。4 支仪仗队中，丁仪仗队的方差最小，所以丁仪仗队身高更整齐。

【点评】解题首先得审题。本题考查的是一组数据的离散程度，而不是数据的集中趋势，我们不能凭自己的解题经验匆忙作答，否则会忙中出错，快却不准。

易错点3：忽视实际问题的背景

例3 某校为选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会并冲击冠军，积极组织训练和6 次预选赛，其中甲、乙两名运动员较为突出，他们在6 次预选赛中的成绩（单位：s）记录如下表所示：

12.3________________________12.1_________________________12.1 12.0_________________________11.8_________________________11.7__预选赛第一次_____第二次_____第三次______第四次_____第五次______第六次_____甲________乙____12.0 12.0______________12.2______________11.8 12.1______________11.9______________

学校决定依据他们的成绩进行选拔，那么被选中的运动员是_______。

【错解】甲。

【错解原因】错解是这样想的：

【分析】在平均成绩相同的情况下，把方差小作为评判成绩好的标准，看似无懈可击，其实是对方差概念的误解。方差是反映一组数据波动大小、偏离平均数趋势的一个特征数，至于波动大好还是波动小好，还要看这组数据所反映的实际问题，如预测未来几年我国的经济形势，是希望波动小、每年基本持平，还是希望每年保持较高的增长率，答案是显而易见的。本题是选拔优秀运动员参加比赛，希望能获奖，因此平均数、方差都要参考，但更重要的还是看他的发展潜力、比赛时的竞技状态。我们从6 次预选赛中的成绩记录看，甲的成绩在12 秒上下波动，基本上稳定；但乙的成绩却在稳步提升，一次比一次好，极具发展潜力，而且最好的成绩也超过甲的最好成绩，因此应该选拔乙运动员去参赛。

【点评】解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，特别是遇到实际问题时要考虑实际问题的意义。