周期问题

像0.142857142857142857……这样，从第二组开始“142857”和第一组的“142857”排列顺序完全相同，并且依次不断重复出现的有规律排列现象叫作周期现象，这类问题叫作周期问题。

【例1】有248张圆形纸片，按先5张红的，再9张白的，再13张绿的顺序排列，最后一张是什么颜色？

【思路分析】首先，这些纸片的排列规律是5 张红的，9 张白的，13 张绿的，5 张红的，9 张白的，13 张绿的……因此它们的排列周期是5+9+13=27。接着看248 里包含几个这样的周期，如果正好是整数个周期，说明是周期里的最后一个，如果有余数，余几，就是下一周期里的第几个。

解：5+9+13=27

248÷27=9……5

因为248 里有9 个周期还多5个，所以第248张是红色的。

答：最后一张是红色的。

【例2】一串数2、0、2、9、2、0、2、9……共196 个，最后一个数字是几？其中有几个2，几个0和几个9？

【思路分析】根据题意，知道周期是4，也就是4个依次不断重复出现的数，不要认为是2+0+2+9=13。再看198里有多少个这样的周期，196÷4=49，最后结合每个周期里有2个2，1个0和1个9，就能求出三种数各有几个了。

解：196÷4=49……周期数

2×49=98（个）……2的个数

1×49=49（个）……0的个数，也是9的个数

答：最后一个数是9，其中有98个2，0和9分别有49个。

解决周期问题，先要确定每个周期是多少，再用除法求出商和余数得到有多少个周期。最后结合每个周期的排列就能解决问题了。

【挑战自我】

1.有200朵花，按4朵红色，3朵绿色，5朵黄色，2朵紫色的顺序排列，最后一朵是什么颜色？

2.有一列数2、5、7、9、2、5、7、9……问：（1）第99 个数是多少？（2）这99个数中有多少个5？