11阶幻方与等幂和

张在明

(玉溪师范学院，云南 玉溪 653100)

本文介绍两个漂亮的11阶完美对称幻方(图1、图2)以及依托这两个幻方而得到的等幂和数组和代数恒等式.

图1 11阶完美·对称 幻方(1) 图2 11阶完美·对称 幻方(2)

首先说明图中的幻方都是完美幻方.显然可以直接计算出其行、列、左、右泛角线的数字和均为671.不过下面再介绍一种通用的方法，即自然数阵的数字结构特点，以此建立自然数阵与幻方的内在联系，为节省篇幅而又不失一般性，不妨以7阶为例.

先看7阶自然数阵(图3)，其中心位置的数字为25，左对角线上的数字依序为：1、9、17、25、33、41、49，组成公差为8的等差数列，中项为25，左、右数字以25为对称中心，其和为175.

现在列表讨论左泛角线数字特点(图4)，第2行前6个数字比第1行增1，共增加6，最后数43恰比49减少6，第2行的数字和仍为175.右泛角线7组数字也是如此，加上第4行、第4列(对称1)，于是便首先凑够7阶幻方中7行7列，二主对角线的全部16组数.接下来的任务便是把自然数阵的此16组数字构造为7阶幻方，7阶对称幻方乃至7阶完美对称幻方，这些就是文献[1]所讨论的问题.

图3 7阶自然数阵 图4 左泛角线数字特点

以下演示通过7阶自然数阵，用铺地锦加斜排(一定要跳空一格！)构造两个7阶完美对称幻方(图5)：

图5 用铺地锦加斜排构造7阶完美对称幻方

图6 7阶完美对称幻方(1) 图7 7阶完美对称幻方(2)

简要过程：①填写自然数阵(至少一个)；②以其左对角线数组为准，成为7阶完美对称幻方的第4行；③以1为起点，跳一格斜排向上向下取点列20、32、44以及38、26、14，共7个数字组成7阶完美对称幻方的第1列；④如图5所示，相继完成幻方的其他6行的数组.⑤见图6，完成第1个7阶完美对称幻方的构造过程；⑥验证图6中的7阶数阵，确是幻方，对称幻方，完美幻方(从略);⑦仿此，以自然数阵右对角线为依据，构造另一个7阶完美对称幻方)(过程从略，结果由图7显示).

把7阶自然数阵换成11阶，用铺地锦加斜排(跳空一格)，如法类推便得到图1、图2中的两个11阶完美对称幻方.

由于10进位制的关系，此二幻方数字安排特别漂亮，尤其是图1，故笔者将它命名为“Forget me not！”(毋忘我)，它有下面几个特点：

①第6行从左到右，组成以10为公差的等差数列，末位数字均为1，简明，标准，第5行乃由11阶自然数阵中的右对角线演变而来.

②第3行也很有意味，中间数字121为最大数，犹如中流砥柱，巍然屹立.左右10个数，从10、20到90、100,这正是10进位数独有的魅力，为别的幻方所缺失.

③第1、2、4、5行都是两组公差也是10的等差数列组成，条理分明，都是由自然数阵中的右泛对角线数组构成.

④与之相对称的是第6行到第11行，交相辉映，如121与1，一高一低，一大一小，遥相呼应.

⑤幻方中的数字还具有奇偶分开的特点.

⑥对泛对角线数字和的验证，同样可用以左右对角线数字相对比进行，比如左对角线与相邻一组右泛对线，由下可见增减一样，其和不变：

2、16、30、44、47、61、75、78、92、106、120

9、12、26、40、54、57、71、85、99、102、116

(7、-4、-4、-4、7、-4、-4、7、7、-4、-4)

至于图2中的11阶完美对称幻方，可视为图1中的幻方的伴随幻方，异中有同，同中有异.

以下，讨论依托这两个幻方而构建的等幂和恒等式，有别于一般资料的方法，本文将采用一般化的表现形式.为此，必须对幻方作“对称化”的技术处理(将各数字减去61，再一一加上未知元y，如图8所示.)

图8 对幻方作“对称化”技术处理

先讨论第1行，其数字的2次等幂和，有

(y-49)2+(y-28)2+(y-18)2+(y-8)2+(y+2)2+(y+12)2+(y+22)2+(y+32)2+

(y+42)2+(y+52)2+(y-59)2=

11y2+2(-49-28-18-8+2+12+22+32+42+52-59)y+492+282+182+82+22+

122+222+322+422+522+592=11y2+0y+13 178=11(y2+1 198)

由于对称性，不难发现，第11行诸数字的2次等幂和也等于11(y2+1 198).

同样的讨论适合第1列与第11列，有

(y-49)2+(y-25)2+(y-1)2+(y+23)2+(y+47)2+(y-50)2+(y-37)2+(y-13)2+

(y+11)2+(y+35)2+(y+59)2=

11y2+492+252+12+232+472+502+372+132+112+352+592=11(y2+1 330)

(y-25)2+(y+9)2+(y+43)2+(y-44)2+(y-10)2+(y+24)2+(y+58)2+(y-29)2+

(y+5)2+(y+28)2+(y-59)2=11y2+13 662=11(y2+1 242)

经过一番计算，关系到图8中11阶完美对称幻方一般式的行、列、左(右)泛对角线的2次等幂和代数恒等式，用简单符号表示共得

否则，只得另辟蹊径！

再说图2中幻方所涉及的2次等幂和问题.不难断定，其行(列)相关的等式与图1中的毫无二致，仅数字排序不同，至于左(右)泛对角线方面的，则有所不同，举二例于下：

还有3次等幂和式必须列出：

在上面的2次、3次等幂和等式中，取y=61，便得到文章开头部分，即图1、图2，两个11阶完美对称幻方所依托的等幂和等式，举4例于下：

602+702+802+902+1002+1212+102+202+302+402+502=

722+822+922+1022+1122+12+222+322+422+522+622=

11(3 721+1 110)=53 141

332+462+702+942+1182+212+342+582+822+1062+92=

1132+162+402+642+882+1012+42+282+522+762+892=

11(3 721+1 176)=53 867

123+463+803+1143+273+613+953+83+423+763+1103=

23+163+303+443+473+613+753+783+923+1063+1203=

11×61(3 721+6×632)=5 041 223

223+543+863+1183+293+613+933+43+363+683+1003=

1113+1043+963+883+693+613+533+343+263+183+103=

11×61(3 721+6×588)=4 864 079