扩张Schrodinger-Virasoro李代数及其一些子代数研究

余 德 民， 李 笛， 柴 嘉 潞， 罗 德 仁

( 湖南理工学院 数学学院， 湖南 岳阳 414000 )

0 引 言

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m， [Mm，Mn]=0；

此运算在基向量上线性扩张，并满足反对称性和Jacobi不等式，称g为扩张李代数Schrodinger-Virasoro，文献[1]研究了扩张李代数Schrodinger-Virasoro的结构，文献[2]研究了Schrodinger-Virasoro的表示.文献[3-7]研究了Virasoro李代数及其推广的Virasoro李代数，文献[8-10]研究了推广的Virasoro李代数的结构分类、导子、自同构和最高权模.本文研究这类李代数的子代数、同构.

1 主要结果

定义1若李代数g无非零的交换理想，则称g为半单李代数.又若李代数g还无非平凡的理想，则称g为单李代数.

定义2设由Li(∀i≥2，i∈Z)张成的子空间为g2.

定理1g2是g的无限维非交换子代数.

证明∀i≥2，j≥2，i，j∈Z，可验证

[Li，Lj]=(j-i)Li+j

(1)

从而，g2是g的子代数，g2也是g的无限维非交换子代数.

定理2g2是g的半单李子代数.

证明由于∀i≥2，i∈Z，∀j≥2，j∈Z，Li∈g2，Lj∈g2

[Li，Lj]=(j-i)Li+j

g2无二维交换李子代数，反证假设h为g2的二维交换子代数，设x、y为h的基，则x≠0，y≠0，设

x=k2L2+…+kn-1Ln-1+knLn

y=l2L2+…+ln-1Ln-1+lnLn

观察矩阵：

因为h为交换子代数，所以

[x，y]=0

(2)

仔细观察系数矩阵，式(2)左边经过具体计算之后可知L2n-1系数为

同理观察L2n-2的系数

利用行列式有关知识，又kn、ln不全为零，因为

(3)

于是L2n-3的系数

kij≠0，i1

φ1在g2的基向量Li上线性扩张.

φ1([Li，Lj])=[φ1(Li)，φ1(Lj)]；

∀i≥2，j≥2，i，j∈Z

定义3设由Mi(∀i∈Z)张成的子空间为g3.

定理4李代数g不是单李代数，也不是半单李代数.

证明先证明g3是g的无限维交换子代数，并且g3是李代数g的交换理想，∀i，j∈Z，由于

[Mi，Mj]=0

从而g2是g的无限维交换子代数，∀m，n∈Z，由于

从而g2是李代数g的交换理想.从而原命题成立.构造g到g映射如下：

φ2：g→g，φ2(Li)=aiLi，φ2(Ni)=aiNi，

定理5φ2是g到g的同构.

定理6g-是g的无限维非交换子代数.

证明∀m<0，n<0，m，n∈Z，可验证

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m，

[Mm，Mn]=0；

[Lm，Nn]=nNn+m， [Mm，Nn]=-2Mn+m，

从而g-是g的无限维非交换子代数.

定理7g0-是g的无限维非交换子代数.

证明∀m≤0，n≤0，m，n∈Z，可验证

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m，

[Mm，Mn]=0；

[Lm，Nn]=nNn+m， [Mm，Nn]=-2Mn+m，

从而g0-是g的无限维非交换子代数.

显然，g-⊂g0-⊂g.

定理8g-是g0-的无限维非交换子代数，g-是g0-理想.

证明由于g-是g的无限维非交换子代数，当然g-是g0-的无限维非交换子代数.∀m>0，n>0，m，n∈Z，可验证

[Lm，L0]=-mLm， [L0，Mn]=0，

[Lm，M0]=0， [Mm，M0]=0，

[Lm，N0]=0， [Mm，N0]=-2Mm，

从而g-是g0-理想.

定义6设由Mi，Ni(∀i∈Z)张成的子空间为g13.如前所述Mi(∀i∈Z)张成的子空间为g3.

定理9g13是g的无限维非交换子代数，g3是g13的理想，g13不是单李代数，也不是半单李代数.

证明∀m>0，n>0，m，n∈Z，可验证

[Mm，Mn]=0， [Mm，Nn]=-2Mn+m，[Nm，Nn]=0

从而g13是g的无限维非交换子代数.显然g3是g13的交换理想，g13不是单李代数，也不是半单李代数.

定义7设由Li，Mi(∀i∈Z)张成的子空间为g14.如前所述Mi(∀i∈Z)张成的子空间为g3.

定理10g14是g的无限维非交换子代数，g3是g14的理想，g14不是单李代数，也不是半单李代数.

证明∀m，n∈Z，可验证

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m，

[Lm，Mn]=nMn+m， [Mm，Mn]=0

从而g14是g的无限维非交换子代数.显然g3是g14的交换理想，g14不是单李代数，也不是半单李代数.

2 结 语

本文研究了扩张Schrodinger-Virasoro李代数部分结构问题.可以进一步研究这类李代数的中心和理想，及其全部自同构以及自同构群等结构问题.并可继续研究扩张Schrodinger-Virasoro李代数的表示.