连续小推力条件下星座轨道机动方法研究

杨盛庆，王禹，王丹娜，林荣峰，杜耀珂，钟超

1. 上海航天控制技术研究所，上海 201109 2. 上海市空间智能控制技术重点实验室，上海 201109

航天任务日趋复杂，传统的大卫星虽然功能强大，但也面临成本高昂的问题。且卫星受自身轨道运动和地球自转运动造成的时空约束，单个卫星难以实现全球性的实时测量或通信功能，小卫星星座应运而生[1-4]。同时，随着航天工业的发展，电推进系统的性能逐渐完善，已应用于多类航天器，提供高效稳定的连续轨控动力输出。

星座的轨道控制任务包括入轨机动、构型保持和离轨机动[5-8]。连续小推力条件下星座轨道机动的核心问题，是考虑轨道运动在连续小推力条件下的弧段效应。传统的轨迹优化求解方法大致可以分为直接法和间接法两大类，间接法是基于Pontryagin极值原理将最优控制问题转换为一个Hamiltonian边值问题，直接法则将连续的最优控制问题离散并参数化，直接用数值方法对性能指标寻优[9]。连续小推力的轨迹优化问题最早出现在深空探测任务的轨道优化设计过程中[10]，文献[11]采用间接法构造了两点边值问题，对地球静止轨道卫星小推力条件下的多圈转移轨道进行了优化设计。近地轨道空间环境更复杂，轨道周期性的弧段效应明显[12]。对于小卫星一箭多星的入轨方式，使用传统的轨迹优化方法只会图增算法复杂性。因此，将入轨的多星布局置入任务视为轨道面内的相位调整问题[13]，通过分析分时抬轨的轨道动力学特性，给出多星入轨布局置入的机动方案。在轨道抬升阶段，轨控的弧段效应会造成升交点赤经的偏差，通过解析方法分析轨道倾角的偏置补偿公式，目前尚无此类问题的理论方法和研究成果。离轨机动的任务是在降低轨道高度的同时，设置轨道偏心率，使近地点尽可能低，依靠大气层的作用加速卫星离轨。离轨机动主要调整轨道的半长轴和偏心率，连续推力下两者的控制具有耦合效应，为节省燃料可以进行半长轴和偏心率的联合调整。上述各阶段的轨道机动任务，均需对被控轨道参数在相应控制弧段的曲线积分进行定性分析，在此基础上设计合理的控制弧段，提出控制策略的优化问题，并进行数值求解。

综上所述，本文通过星座轨道机动的实例，阐述了使用基于曲线积分的解析方法进行机动优化设计的方法。具体为针对连续小推力条件的轨道机动任务，提出了由分时序抬轨实现相位调整的多星入轨布局置入方法。为使离轨机动尽可能节省燃料，设计了半长轴和偏心率联合调整的优化方法。

1 星座轨道动力学

1.1 标称轨道与轨道机动任务

基于载荷的覆盖特性分析，采取均匀分布的星座构型设计[14]，参照Oneweb星座的规模，星座共18个轨道面，每个轨道面40颗卫星。轨面内相邻卫星相位差9°，异轨面相邻卫星的相位差4.5°。该构型设计主要针对星座南北极存在的交汇情况，能够兼顾安全性和星座的几何均匀分布要求。星座空间构型如图1所示，标称轨道参数如表1所示。

图1 大型星座布局情况Fig.1 Configuration of huge constellation

表1 标称轨道参数

经轨道仿真分析，星座在南北极交汇时任意两星间的最小距离约20 km。自然摄动下发生星座内碰撞的风险较小，但仍要尽量避免在高纬度地区实施长弧段的轨道机动。

1.2 连续小推力下的轨道动力学方程

(1)

式中：n为轨道角速度：f为真近点角；r=a(1-ecosE)；u为纬度幅角；p=a(1-e2)。

对于小偏心率轨道，连续推力的轨道运动方程可以简化为[17]:

(2)

由式(2)可知，小偏心率轨道条件下控制半长轴最高效的方式是采用航向的控制力，偏心率控制以真近点角为参数，具有明显的弧段效应；控制轨道倾角和升交点赤经最高效的方式是采用法向的控制力，两者的控制具有以纬度幅角为参数的弧段效应。

2 星座入轨布局置入

针对连续推力的轨道抬升控制的工作时长、分时抬轨的相位调整策略、轨道倾角偏置补偿升交点赤经漂移等研究内容开展理论设计。

2.1 一箭多星的布局置入

(3)

式(3)作为近地、近圆轨道上的连续小推力轨道控制动力学的等效一阶特性，其曲线积分能有效体现连续控制的弧段效应。由式(3)可得：

(4)

相位漂移的距离向与半长轴偏差的估计关系为：

Δl=-1.5ntΔa

(5)

相位角偏差与半长轴偏差的估计关系为：

(6)

分时抬轨机动的优点是在星座布局结构均匀的条件下，任意相邻卫星之间的相位偏差一致，即任意相邻两星分时抬轨机动的时延一致。因此，一箭多星的入轨布局机动可以归结为抬轨延时问题,抬轨的控制过程如图2所示。

图2 多星相位布局置入及抬轨过程Fig.2 Configuration insertion of constellation and arising-orbit maneuver process

假设待求解时延为tx，相位偏置满足：

(7)

(8)

式(7)可以改写为:

(9)

图3 分时序抬轨的绝对半长轴和相对半长轴变化情况Fig.3 Transformations of semi-major axis and relative semi-major axis in time-delay maneuver sequence

2.2 抬轨的轨道倾角偏置补偿

轨道抬升的过程采用长弧段连续小推力控制，尽可能采用真近点角的对称弧段，保持偏心率基本不变。但是半长轴的连续缓慢变化，会导致升交点赤经累积改变。考虑到星座安全性问题，避免在高纬度地区实施轨道机动。而在低纬度弧段实施升交点赤经的修正代价较大，因此考虑在入轨时对轨道倾角进行偏置，预先补偿升交点赤经的变化，抬轨到位后在低纬度对称弧段修正轨道倾角的偏差。以最可靠的方式和较小的代价，实现目标轨道倾角和升交点赤经的捕获控制。

参考文献[19]和[20]讨论了稳态运行条件下基于自然摄动的构型漂移与轨道倾角偏置。区别于上述文献，本文介绍的方法针对连续小推力轨道机动作用下的轨道倾角偏置。

升交点赤经在主要摄动项引力场J2项作用下的变化率可以表述为[16,21]：

(10)

轨道抬升到目标轨道后的升交点赤经满足积分:

(11)

因此考虑入轨时，设置轨道倾角的偏置，使升交点赤经变化率改变，进而补偿抬轨过程中的损失。轨道倾角偏置Δi情况下，升交点赤经的变化率偏差满足下式：

(12)

依据泰勒展开公式：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+o(x-x0)

(13)

由式(12)可得:

cos (i+Δi)≈cos (i)-sin (i)Δi+o(Δi)

(14)

轨道抬升过程中，由轨道倾角偏置产生的升交点赤经偏差的解析解如式(15)所示，轨道倾角偏置的解析解需要满足Δ2Ω≈ΔΩ。对于ΔΩ=0.048°的升交点赤经漂移，设置轨道倾角偏置Δi=-0.088°，可以使得升交点赤经的末态与初始状态保持一致，抬轨到位后只需在低纬度对称弧段修正轨道倾角偏置量即可完成高精度的初始入轨。抬轨过程中，不同轨道倾角初值设置下的升交点赤经变化情况如图4所示。

图4 抬轨过程中升交点赤经的变化情况Fig.4 Transformation of RAAN during arising-orbit maneuver

(15)

3 快速离轨机动

3.1 轨道参数联合调整的动力学描述

星座中卫星数量较多，当其中的卫星出现故障退役时，需要进行离轨机动，并由备份星进行补位。由于轨道高度较高，轨道的自然衰减速率较慢。为避免数量众多的退役卫星成为太空垃圾，需要设计快速离轨机动方法。机动目标是使近地点尽可能的低，依据大气阻力使轨道加速衰减，并最终坠入大气层[22]。为了缩短机动时间，需要进行半长轴和偏心率的联合调整。

由式(2)可以发现，偏心率的调整沿航向控制效率为径向控制效率的2倍，沿航向控制结合半长轴的调整控制以减少耗肼量。因此，仅考虑沿航向的轨道机动，式(2)可以简化为:

(16)

式中半长轴的调整主要依靠轨道面内沿航向控制，基本不受纬度幅角或真近点角的影响。由于降轨机动主要实施反飞行方向的控制，为了同时增大偏心率，只能在远地点附近弧段进行控制，且偏心率的控制效率较高。因此，快速离轨机动策略如下：

1)考虑到半长轴衰减使用反飞行方向的控制力，因此设计在远地点的对称弧段进行半长轴和偏心率的联合调整；

2)当偏心率调整到位后，远地点偏置±90°相位的相应弧段施加反飞行方向的控制力，控制半长轴衰减到目标值。此阶段内，根据偏心率的控制效果，可以分为保持偏心率(对称弧段，如图5所示)和增大偏心率两类(非对称弧段，如图6所示)。

图5 组合1的两阶段半长轴和偏心率的联合调整Fig.5 Two-phase united-control for combination of semi-major axis and eccentricity in group 1

图6 本文两阶段的半长轴和偏心率的联合调整Fig.6 Two-phase united-control for combination of semi-major axis and eccentricity in optimization structure

3.2 轨道参数联合调整的优化问题及其数值解

轨道半长轴和偏心率的联合调整最优化问题形式可描述为:

图7和表2是不同组合的联合调整策略效果比对。组合1在远地点对称弧段施加控制，降低半长轴的同时，高效调整偏心率到位，然后调整半长轴并保持偏心率，该组策略能耗较大，作为比对项。后两组策略为本文构造的最优化问题的数值解，分别对应能量最优和时间最优。

图7 半长轴和偏心率的联合调整效果Fig.7 United-control for semi-major axis and eccentricity

表2 不同组合的联合调整策略

4 结束语

本文基于连续小推力轨道机动的动力学特性，对轨道机动方案进行优化设计。研究难点在于地球卫星明显的轨道周期特性和连续推力控制的弧段效应。核心思想是对连续小推力条件下轨道动力学这一可积系统进行曲线积分。使用轨道控制弧段对应的曲线积分作用，对轨道参数的连续变化进行刻画，并基于曲线积分的结果，给出入轨倾角偏置的解析解和离轨组合控制优化问题的格式。

本文方法解决了如下问题：1)连续小推力条件下，通过分时序抬轨控制，实现多星入轨的构型布局置入；2)通过轨道倾角的偏置实现升交点赤经的目标末态控制；3)退役卫星的离轨机动，考虑到连续推力条件下偏心率的控制效果在近地点和远地点具有明显的弧段效应，对半长轴和偏心率进行联合调整。在保证卫星快速离轨的同时，有效减少燃料的消耗。

低轨道考虑地影，地影中电推进系统是否输出推力由整星电源规划。控制系统可根据星座中不同轨道面，分析其在特定历元下与太阳的照射关系，进而提炼出该轨道面内每个轨道周期的推进空闲时间。在入轨抬升轨道阶段，可以使用占空比概念进行规划。对于离轨联合调整的最优化问题，则体现为待优化变量的取值范围。上述两种情况，均意味着受地影的影响，轨道控制的耗时增长，本文介绍的方法框架仍可适用。