浅谈整体代换思想在三角函数教学中的应用

余莉雅

摘   要：在三角函数的教学过程中，要让学生掌握好三角函数基础知识内容和解题技巧，这对高中生的逻辑思维能力以及数形结合能力的培养有着重要意义.因此在三角函数教学中要加强学生数学问题的解决能力与分析能力，从而为今后的学习打下稳固的基础.

关键词：高中数学;三角函数;数形结合;整体代换

三角函数是一种重要的初等函数，它在解决高中数学的其它问题上具有广泛的应用，是高中数学的主干知识之一，也是高考必考的重点内容.从近五年全国高考卷看，三角函数的命题比较注重基础，且考查要求呈现稳定性与连续性，尽管命题的背景上有所变化，仍属难度系数不高的基础题、中档题.三角函数试题的考查一般是一小一大（选择题一道，解答题一道）或三个小题（选择题两道，填空题一道），三角函数与数列差不多每两年交替出现于解答题第1题（第17题）的位置.“三角模块”考查总分值为17分或15分，题型较为常规;试题所考的方法都是通性通法;试题难度不大，所以对学生高考来说是一个重要的得分点.近五年高考全国卷中三角函数高频考点有：①任意角三角函数的定义;②同角三角函数的基本关系式;③三角函数的图象和性质;④运用三角公式进行简单的三角恒等变换（主要利用诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和差公式、二倍角公式进行简单的恒等变换）;⑤利用正、余弦定理结合三角知识解三角形问题通过三角函数定义、公式、定理等必备知识为载体，考查考生运算求解、数形结合、转化化归的关键能力，考查逻辑推理、数学运算的核心素养。着重体现知识的基础性、综合性与应用性.

因此，在整个三角函数的教学中，归根结底还是要注重通性通法，在日常教学中不难发现，在三角函数的解题中主要采用“数形结合”、“函数与方程”、“整体代换”及“特殊与一般”等常见数学思想.

“整体代换”在三角函数的解题中是最重要的方法，整体代换是指将问题或者是问题的一部分看成一个整体，用一个新的变量代之，进而简化研究过程，这一过程其实质就是换元的过程，也就是换元法的应用，是研究数学问题的一种重要的思想方法.这一思想在解决三角函数的两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）中有着广泛应用[ 1 ].

1  用整体代换思想解决三角函数单调性问题

例如：我们在研究形如函数y=Asin（ωx+ψ）的单调性问题时，可以根据函数y=sinx的单调性情况，结合正弦函数图象来实施.把y=Asin（ωx+ψ）中的ωx+ψ看作一个整体，视之为y=sinx中的x[ 2 ]，这一过程也可以用换元法，令ωx+ψ=t将其代入y=sint的单调区间，进而解出x的范围.这一过程把“数形结合”与“整体代换”紧密的结合起来.

2  用整体代换思想解决三角函数对称性问题

在解决形如函数y=Asin（ωx+ψ），y=Acos（ωx+ψ）及y=Atan（ωx+ψ）的对称轴及对称中心问题时，也是将ωx+ψ看作一个整体，结合正余弦曲线和正切曲线来进行研究的.

总之，数学思想是数學教学最核心的部分，从解题教学的现状来看，要加强核心知识的理解，最关键的还是要在思想方法上给予渗透，将核心知识在思想方法的指引下合理地运用到位，只有具备思想的教学，才是有深度的、有灵魂的教学.在三角函数模块的学习中，尤其要重视函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想的应用，结合近几年的新课标高考卷中的考题，发现思想点与能力点，不断提升学生分析问题解决问题的能力.

参考文献：

[1]黄金明.研读真题领悟真迹——“三角函数”高考考点题型归类解析[J].高考，2018（18）：222.

[2]郝文华.关于三角函数教学的再思考[J].高中数学教与学，2018（9）：7-9.