学会基于教材的延伸性思考

黄秀旺

教材是老师和同学们进行教学活动的材料，是教学的主要媒介。苏科版数学教材九年级上册“对称图形——圆”给出了一些重要定理，而对于数学问题的探究来说，我们如果对定理做一些延伸性的思考，会得到更有价值的结论，有助于提升解决问题的能力。

一、教材对常用的结论做出了延伸性的结论

基本定理：教材第45页“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，第55页“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”。

追问：圆周角的度数与它所对弧的度数之间的关系如何？

因为圆心角的度数与它所对弧的度数相等，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，所以圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

例1 （2019·江苏盐城）如图1，点A、B、C、D、E 在⊙O 上，且AB 为50°，则∠E+∠C= °。

【解析】∠E 与∠C 均为圆周角，它们所对的弧分别是DCB、DEA，由于AB 为50° ，所以DCB 与DEA 的度数之和为360°-50°，即310°，根据“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”得到∠E+∠C=155°。

例2 如图2，AB 是半圆，O 为AB 的中点，C、D 两点在AB 上，且AD∥OC，连接BC、BD。若CD 为62° ，则∠ABD 为（ ）。

【解析】根据题意，AB 是直径，∠ADB=90°，又AD∥OC，所以OC⊥DB，根据垂径定理，CD=BC，因为CD 为62°，所以BC 也为62°。可以得到AD 为56°，根据“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”得到∠ABD=28°。

二、教材“练习”对定理做出延伸性的思考

教材第60页的练习3：如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠C=130°。求∠BOD 的度数。

追问1：一般地，∠C 与∠BOD 有怎样的数量关系？

根据教材第59页“圆内接四边形的对角互补”，第55页“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”可以得到∠C+ ∠A=180° ，∠A=12∠BOD，所以∠C+12∠BOD=180°。

例3 （2018·江苏苏州）如图4，AB是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（ ）。

【解析】根据互补得出∠AOC=180°-40°=140°，由延伸性思考可知12∠AOC+∠D=180°，所以∠D=110°。

教材第60页的练习2：如图5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠CBE 是它的一个外角。若∠D=100°，求∠CBE 的度数。

追问2：一般地，∠CBE 与∠D 有怎样的数量关系？

【解析】根据“圆内接四边形的对角互补”得到∠D+ ∠ABC=180°，又∠ABC+∠CBE=180°，所以∠CBE=∠D，即外角等于它的内对角。

例4 （2019·贵州铜仁）如图6，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A=100°，则∠DCE 的度数为。

【解析】根据延伸性思考得到外角等于它的内对角，所以∠DCE= ∠A=100°。

三、基于解题经验对定理做出延伸性的思考

基本定理：教材第47頁“垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧”，第55页“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”。

如图7，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P。

追问：如图7，除了∠COB，还有哪个角与∠BOD 相等？

【解析】根据已知条件，利用垂径定理可以知道BC=BD，再根据“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”，可以得到∠CAD=∠BOD。此结论的应用也较为广泛。

例5 （2013·江苏南京）如图8，AD是⊙O 的切线，切点为A，AB 是⊙O 的弦。过点B 作BC∥AD，交⊙O 于点C，连接AC，过点C 作CD∥AB，交AD 于点D。连接AO 并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD。

试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

【解析】如图9，连接OC，由以上延伸性思考可知∠POC=∠BAC。由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，所以∠POC=∠BCP。而由切线AD 的性质及BC∥AD 可知∠OMC=90° ，所以∠POC+ ∠MCO=90° ，从而∠BCP+ ∠MCO=90° ，易判断直线PC 与⊙O 的位置关系。

当然，圆这一章还有一些定理也可以做出延伸性思考，这就要求同学们善于把握知识之间的联系，从联系中获得新知;也要善于总结解题经验，从解题经验中获得新知。许多中考试题源于教材，在教材的例习题基础上进行拓展延伸，如果我们在平时的学习中，主动思考，一定会提升解决复杂问题的能力。