算理贯通 理法相融
——两位数加一位数(不进位)学习新路径研究
2020-11-30靳培英徐小群尚林巩子坤
□靳培英徐小群尚林巩子坤
一、问题提出
运算能力是最重要的数学素养。《〈义务教育数学课程标准(2011年版)〉解读》指出:不仅会根据法则、公式等正确地进行运算,而且理解运算的算理,能够根据题目条件寻求正确的运算途径,称为运算能力。只有理解了运算算理的运算能力才是真正具有生产性的[1]。同时,《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:“学生掌握数学知识,不能依赖死记硬背,而应以理解为基础,并在知识的应用中不断巩固和深化。……在基本技能的教学中,不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤,还要使学生理解程序和步骤的道理。”[2]因而说,对于诸如整数加减乘除等运算类知识的教学,不仅要关注学生对运算程序、运算法则的掌握,还要关注其对算理的理解,这样才能够培养学生的运算能力。
两位数加一位数,包括不进位与进位两种情形,在整数加法中处于十分重要的地位。虽然在10以内的加法、整十数加一位数与整十数加整十数中已经渗透了“计数单位相同的数才能够直接相加”的概念,但是,此时的加法要么仅仅关注一个计数单位(10以内、整十数加整十数),要么通过数数就可以解决(整十数加一位数),事实上不涉及两个计数单位,因而,计数单位的作用并没有凸显。两位数加一位数,两个计数单位的作用得到凸显,因而,这是学生从“数位”的角度进行加减运算的开端,学生务必理解“计数单位相同的数才能够直接相加”;同时,也是后续学习多位数加减法的重要基础[3]。毫不夸张地说:两位数加一位数学习后,再无“加法的相同数位对齐”。分析国内不同版本教材关于两位数加一位数(不进位)、整十数的编排发现,人教版、北师大版、西师大版、苏教版这四个版本教材在内容的组织上较为相似,都是以学生熟悉的生活场景作为情境图,算理、算法上结合摆小棒,把两位数加一位数(不进位)转化为旧知10以内的这样的口算过程图,虽然是为了组织学生进行表象操作的过程——学生在头脑中重现分一分、摆一摆的过程[4],但又极容易给学生带来不少的困惑。整体而言,虽然教材的结构是合理的、思路是清晰的,但问题是在实际教学中,有的教师要么特别重视算理的教学,通过多种方式呈现算理,但没能够实现算理的贯通,算理之间是互不关联的;要么实现了算理的贯通,但没有从算理水到渠成地走向算法。因而,必须探索有利于“算理贯通、理法相融”的学习路径。
西蒙(Simon)认为教师作为一个领域的研究者,应按照学生的学习反思来修改教学活动[5]。Clements与Sarama在Simon的理论基础上,提出了学习路径的概念,学习路径就是对学生学习某一具体数学知识时思维与学习过程的描述以及一个相关的、设想的路径,这个路径由一系列的学习任务(Tasks)构成[6]。学习路径不但可以把握学生在学习中是如何进步的,而且为教师设置合理的数学活动提供指导,有助于建立教与学的联系[7]。
本文主要研究的问题是:(1)教师在教学中采用了怎样的学习路径?(2)存在哪些问题?(3)如何优化学习路径?(4)如何验证学习路径得到了优化?
二、研究设计
(一)理论模型
本文将学生的理解分为以下3个类型(如表1),以这三类理解类型为标准来判断学生对算理的理解情况。加法和整十数加一位数。类似于
表1两位数加一位数(不进位)、整十数理解类型[8]
续表
(二)研究对象
授课对象是杭州市富阳区某小学一年级两个平行班的学生,我们将这两个班称为甲班、乙班。根据学生的数学期末考试成绩和前测数据,发现这两个班级的学生在数学水平上没有显著性差异。授课教师为S。
(三)研究方法
本研究主要采用课堂观察法、问卷调查法、访谈法以及行动研究法来收集数据。来自上课教师的数据包括:教学设计,教学录像,教学后的反思日志,课前、课后对教师的访谈;来自学生的数据包括:前后测,课堂作业,访谈;来自教师发展指导者(即研究者)的数据包括:教学研讨录像。
我们通过课堂教学观察及前后测数据的对比来说明学习路径是否得到了优化。前测和后测分别由2道题目组成,且前后测题目类型一样。
先列式计算,然后用尽可能多的方法,如文字解释、画直观图、算式表示等来说明你的计算方法是合理的,说明得越详细越好[9]。
(1)一双鞋34元,一双袜子5元,买一双鞋和一双袜子需要多少元?
(2)一张电影票45元,一瓶矿泉水3元,买一张电影票和一瓶矿泉水需要多少元?
(四)数据处理
根据学生的回答,对每种理解类型(程序理解、直观理解、抽象理解)分别赋分,结果正确得1分,错误或未答得0分,并计算出不同理解类型的平均得分。
最终以学生理解水平的提升程度、学生的课堂表现和课后访谈为依据,探查两位数加一位数(不进位)、整十数的学习路径是否得到了优化。
(五)实施步骤
研究的主要步骤如图1所示。
图1研究的实施步骤
三、结果与分析
(一)学习路径A
1.学习路径A呈现
教师在没有任何干预的情况下独立进行教学设计并授课。根据课堂实录,整理出其设计与实施的学习路径A,如图2所示。
图2学习路径A
任务1意在复习“整十数加一位数”与“整十数加整十数”,为任务2做铺垫。任务2意在促进学生对算理的理解,感知算法。任务3意在让学生在理解算理的基础上总结算法,凸显相同计数单位上的数才能够直接相加的算理。
2.存在问题与原因分析
(1)没有贯通算理
要真正理解算理,就要贯通各种表征方式,进而实现优化。教师想通过多种方式来表征两位数加一位数(不进位)的算理,但是各种表征之间并没有贯通,而是孤立地存在。这种情况下,也许绝大部分学生能够正确地进行运算,但是对于为什么这么算却知之甚少。
师:请你在15+2=,20+15=,30+15=,这三个算式中选两个进行研究,要求选择的算式必须一个是两位数加一位数、一个是两位数加整十数。
师:请你根据探究单完成相应的任务。(探究单如图3所示。学生小组讨论,并完成学习单,时间持续11分钟)师:第一小组,你们的结果是怎么样的?(学生呈现自己组的学习单,如图4所示)
图3探究单
师:用小棒表示时,上面表示的是30,下面表示的是15。在数位表上,上面表示的是30,下面表示的是15。最后的分解图,你有疑问吗?(学生沉默)
图4学生作品
师:老师有疑问,为什么要把30分成10和20?(学生沉默)
师:你们觉得是两位数加整十数好,还是整十数加整十数好?
生:整十数加整十数好。
师:那我们在计算时,还需要把整十数分开吗?
生:不需要。
师:那我们可以把30和15换下位置,把15分成10和5再计算。
首先,整节课大部分的时间让学生来完成探究单,仅仅让学生探究30+15=45这个算式就足足花了11分钟。
其次,教师请学生摆一摆小棒、画一画数位表、拨一拨计数器后,仅仅呈现了算式和计算的结果,没有要求学生说明为什么这么摆、这么画、这么拨;黑板上也没有留下各种可见的直观表征。因此,也就谈不上多种表征的贯通。
另外,由于教师把算式写成了30+15=45,学生在写分解图时,出现了把30分成10和20的情况,学生困惑不已,教师不得不从各个角度引导学生,交换30和15的位置,从而使整节课的教学显得尤为混乱。
(2)任务中的“数据”设计不合理
“15+2”“15+30”这两个教学任务过于简单,比如,学生通过“数手指”很容易就能算出“15+2=17”,这不利于学生探究算理。
3.学习路径完善建议
(1)促使表征贯通
教师在教学的过程中,除了让学生动手操作外,还要向学生动态演示计算的过程,在黑板上要留下亲眼可见的直观图,同时要注意表征的贯通。
(2)改变探究算式
增加任务的难度,把15+2,15+30换成53+4和53+40,使数据更具有探索性。
(二)重构的学习路径B
1.学习路径B呈现
教师S在乙班重构的学习路径B如下(图5)。
图5学习路径B
相对于学习路径A,路径B有以下变化:
①改变表征方式,促进表征贯通。通过摆小棒、计数器表征出53+4的计算过程;由于数位表与计数器本质上是一样的,这里不再使用数位表。
②任务中的数据变为53+4和53+40,难度增大,使得计算过程更具有探索性。
2.重构路径的效果分析
(1)教学实况分析
①实现表征贯通。
师:请小朋友说一说他是怎么计算的。
生:53分成50和3,3加4等于7,50加7等于57。
(学生边说,教师边在黑板上呈现,如图6所示)
师:计算的先后顺序是?
生:先算个位,再算十位。
图6
师:老师准备了小棒、计数器、数位表,刚才这个小朋友说的计算过程,你能利用这些学具演示一下吗?
师:请你先思考,再摆一摆小棒、拨一拨计数器,然后和同桌交流。
师:我们请这位小朋友说一说他是怎么想的。
生:我选择小棒,先摆5捆小棒,再摆3根小棒,因为是加4,所以在个位上再摆4根小棒,结果是57。(学生边说边演示)
师:还有其他方法吗?
生:我选择计数器,先在十位上拨5颗算珠,在个位上再拨3颗算珠,因为是加4,所以在个位上再拨4颗算珠,结果是57。(学生边说边演示)
师:那53+40怎么计算?
生:把53分成50和3,50加40等于90,90加3等于93。(学生边说,教师边在黑板上呈现,如图7所示)
图7
师:用小棒怎么表示?
生:同样地,先摆5捆小棒,再摆3根小棒,因为是加40,所以在十位上再摆4根小棒,结果是93。(学生边说边演示)
师:用计数器怎么表示?
生:先在十位上拨5颗算珠,在个位上再拨3颗算珠,因为是加40,所以在十位上再拨4颗算珠,结果是93。(学生边说边演示)
②促使算理走向算法。
师:我们计算53+4时,加上的4表示?
生:表示4个一。
师:所以这时候4要和谁相加?
生:和3相加,结果是57。
师:在计算53+40时,为什么4不是和3相加?
生:因为4在十位表示4个十,3在个位表示3个一,计数单位不同,不能够直接相加。
师:所以4要和谁相加?
生:和5相加,结果是93。
师:是的,只有相同计数单位上的数才能够直接相加。
通过以上教学过程,学生明白,只有相同计数单位上的数才能够直接相加,从而促使算理走向算法;同时,为理解“数位对齐”做好了铺垫。
(2)课后测试结果比较
为了检测路径A、路径B的实施效果,两次教学前后都对学生实施了前后测,结果如表2、表3所示。
表2第一次教学甲班前后测不同理解类型的平均得分
由表2可以看出,无论前测还是后测,学生程序理解的均分最高,直观理解次之,抽象理解的均分最低。第一次教学干预后,绝大部分学生能够准确算出得数,一大半的学生能够进行直观表征,少部分的学生能够进行抽象表征。
表3第二次教学乙班前后测不同理解类型的平均得分
由表3可以看出,学生程序理解、直观理解的均分较高,抽象理解的均分最低。整体来说,在三种理解类型上,后测的数据要大幅度高于前测,也就是说,实施学习路径B后,教学取得了一定的进步,说明学习路径得到了优化。
3.问题与改进建议
(1)增加关键问题提问
在学生通过摆一摆小棒、拨一拨计数器呈现了53+4的算理与计算过程后,教师可以提出以下关键问题:学具不同,结果都是57,计算过程有何相同之处?这样可以帮助学生实现算理的贯通。同时,在计算53+40后,引导学生比较53+40与53+4的异同,促使算理走向算法。
(2)增加任务4
任务4是计算4+53,40+53,强化算法,让学生深刻感受53+4和4+53,53+40和40+53的异同,在产生一系列的认知冲突后明白,无论是53+4还是4+53,其本质都是一样的,都是“相同计数单位上的数才能够直接相加”。同时渗透加法交换律,53+4是57,4+53也是57;53+40是93,40+53也是93,使学生体会到即便算式的形式改变了,但是本质没有变;加数的位置变了,但结果没有变。
四、结论与建议
(一)学习路径的建议
学习路径设计的重点是对算理进行多种表征,并贯通各种表征,实现对算理的概念性理解;同时,在理解算理的基础上,通过探究实现算理与算法的融会贯通。而要做到这一点,就要设计层次递进的、具有内在逻辑顺序的学习任务序列,构建合理的学习路径[10]。通过对学习路径A、B的实践,分析,反思与批判,从促进学生理解算理的视角出发,我们建议两位数加一位数(不进位)的学习路径可构建如下(图8)。
图8学习路径C
(二)充分认识到理解算理的重要性
一年级学生刚接触运算类的知识,思维还处于萌芽阶段,教师在教学过程中一定要使学生知其然且知其所以然,切勿进行机械的重复训练。通过多种表征的转化,使算理和算法实现融会贯通,为后续运算知识的学习打下扎实的思维基础。因此,教师不仅要求学生能够达到正确进行两位数加一位数(不进位)、整十数运算的学习目标,而且更要使学生意识到理解运算算理对提高运算能力的重要性。