明确三条主线，攻克高考复数

2020-11-30广东省梅县东山中学钟国城

中学生数理化(高中版.高考数学) 2020年11期

■广东省梅县东山中学钟国城

复数是高考数学的必考内容，其在高考数学试题中主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度为基础或中等，主要考查基本概念和运算，考查同学们对数学知识的理解与运算求解能力。高考数学对复数的考核要求是：理解复数的基本概念；了解复数的代数表示及其几何意义；会进行复数代数形式的四则运算。因此，复数主要考查复数的基本概念、复数的几何意义、复数代数形式的四则运算等内容。

一、明确三条主线

1.考查复数的基本概念

这部分内容主要考查复数的分类、复数相等及共轭复数等相关知识，试题常常与复数的运算相结合，一般属于基础题范畴。

例 1（2020年武汉质量检测）已知复数z=（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则a=（）。

解析：由题可得，z=（1+2i）（1+ai）=1+ai+2i+2ai2=1-2a+（a+2）i，则a+2=0，即a=-2。故选D。

例 2（2020年厦门质量检测）若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析：由题可得=0，即a=2。故选D。

评注：上面两个题目均以复数的分类为背景，考查复数的基本概念与运算法则，难度不大，求解方法也比较常规。事实上，对于复数的分类有如下两个结论：①（a+bi）（c+di）为实数为实数⇒ad+bc=0；②（a+bi）（c+di）为纯虚数为纯虚数⇒ac-bd=0。利用上述两个结论，可以快速得到答案，如例1，根据结论①，得a+2=0，即a=-2；例2，根据结论②，得a-2=0，即a=2。

例 3（2020年河南6月大联考）已知复数z1=1+i，z2=1-i，若3-2i=mz1+nz2（m，n∈R），则mn=（）。

解析：由题可得，mz1+nz2=m（1+i）+n（1-i）=m+n+（m-n）i=3-2i，根据复数相等的充要条件，得故选D。

评注：此题考查复数相等的充要条件与运算法则，需要注意的是复数虽不能比较大小，但可以相等，两个复数相等的充要条件是两个复数的实部、虚部分别相等。

例 4（2020年福州质量检测）若z=1+i，则=（）。

A.0 B.2 C.2i D.-2i

解析：由题可得，故选D。

评注：此题考查共轭复数与运算法则，两个复数互为共轭复数即两个复数的实部相等、虚部互为相反数。事实上，两个互为共轭复数有这样一个性质对于此题，可利用此性质进行求解。

2.考查复数的几何意义

这部分内容主要考查复数的代数表示及其几何意义，代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，复平面上的点或向量所对应的复数可用复数的代数形式表示，复数的模等相关知识，试题以基础题或中等题为主。

例 5（2020年贵阳一模）复数z=（i是虚数单位）在复平面内所对应的点位于（）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：由题可得2+i，则在复平面内所对应的点为（2，1），即在第一象限。故选A。

例 6（2020年北京卷）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i·z=（）。

A.1+2i B.-2+i

C.1-2i D.-2-i

解析：由题可得，z=1+2i，则i·z=i（1+2i）=-2+i。故选B。

评注：上述两题考查复数的几何意义，即代数形式的复数与复平面的点的对应关系。对于例5，也可以利用结论（1±i）2=±2i进行求解。另解：根据上述结论，得=2+i，易得答案为A。

3.考查复数代数形式的四则运算

这部分内容主要考查复数代数形式的加、减、乘、除四则运算及加法、减法的几何意义等相关知识，属于简单题。

例 7（2020年洛阳二测）已知复数z满足z（1-i）=2，其中i为虚数单位，则z-1=（）。

A.i B.-i

C.1+i D.1-i

解析：由题可得所以z-1=i。故选A。

评注：此题考查复数的除法运算，考查同学们的计算能力。复数的除法法则类似于分母有理化运算，其实就是利用性质将分母中的复数转化为实数，可以称之为“分母实数化”。另外，此题也可利用复数相等的充要条件及结论（1+i）（1-i）=2进行求解。另解一：设z=a+bi，a，b∈R，则z（1+i）=（a+bi）（1-i）=a+b+（b-a）i=2，所以故z=1+i，所以z-1=i。另解二：根据结论（1+i）（1-i）=2，得z（1-i）=2=（1+i）（1-i），则z=1+i，所以z-1=i。