导数在经济学中的应用

刘馨婷 深圳市育才中学

引言：作为一门十分重要的基础学科，数学在许多领域都有着广泛的应用。很多研究人员需要用数学语言描述自己的理论，许多自然科学理论都可以通过数学运算与数学推导得到，故数学在各个行业都有着广泛的应用。

微积分是高等数学的一个重要分支，也是经济数学的基础。导数是微积分理论中的重要概念之一，几乎一切研究变化率的问题都离不开导数。在物理学中，可以通过导数求解物体的速度与加速度；在化学中，可以通过导数计算可逆反应速率；在生物学中，可以通过导数求解微生物的繁殖速度。在经济学中，导数更是有着非常广泛的应用。应用导数的知识，我们可以高效地分析经济问题中的多个边际量。此外，在构建复杂的经济学模型后，我们常常需要应用导数的知识，对模型进行求解，从而得到结果。随着经济学理论的日益完善，导数将在经济学分析中发挥更重要的作用。本文简要介绍了导数的概念，分析了将导数用于经济分析的重要性，并探讨了导数在经济学中的应用。

一、将导数用于经济分析的重要性

在应用数学方法解决经济问题时，经济学家可以将问题简化为数学模型，通过对模型进行求解，他们可以高效地得到可靠的结论。在应用数学知识分析问题的过程中，经济学家能够较为客观地分析问题，避免主观因素对结果产生影响。此外，经济学家可以借助数学模型，简洁而准确地表达自己的观点。可以说，数学在经济分析中发挥着十分重要的作用[1]。

在经济分析中，研究者常常需要计算当一个经济变量发生变化时，另一个经济变量将发生何种变化。应用与导数相关的知识，研究者可以高效地解决这类问题。导数是描述因变量随自变量变化的规律的有力工具，它可以帮助经济学家精确地计算当一个经济变量（如可支配收入）产生微小的增量时，另一个经济变量（如消费）的增量。通过计算导数、寻找驻点，经济学家可以高效地确定如何使后者达到最值。可以说，导数是经济学家有力的分析工具。

二、导数在经济学中的应用

（一）边际分析

在企业的经营和管理的过程中，经营者常常需要分析生产和销售情况，制定合适的经营策略。边际分析是研究自变量的变化会对因变量的变化产生何种影响的方法。企业的经营者需要运用边际分析，提高经营活动的收益。如果企业的经营者考虑提高产量，那么他们需要进行边际分析，以确保在生产更多产品时，企业可以获得更丰厚的利润。边际分析可以帮助企业的经营者决定如何分配资源，从而降低成本，提高收入和利润。

1.边际成本

例如，一家面包店的日平均销售量为1000个面包，平均一个面包的材料成本（除工资外的主要可变成本）为2元。目前，该面包店在正常营业时间内的最大面包生产量为1200个，如果需要每天生产超过1200个面包，则需要额外支付员工的加班工资和交通费用。通常情况下，订购数量不超过1200时，订购数量越多，盈利越多。而订购数量超过1200时，经营者需要比较面包售价和边际成本（此处所指的边际成本为材料成本加额外的加班工资和交通费用）后，才能做出决定，不能简单地认为订购量越多越好。

2.边际收入

3.边际利润

在利用导数求解边际利润时，经济学家可以高效地得到某种产品的最大利润。设L(x)代表产品销量为x的情况下的利润，根据经济学常识，由L(x)=R(x)-C(x).对公式的两边求导可得，L’(x)=R’(x)-C’(x)，L’(x)即为边际利润。根据函数极值的相关知识，当L’(x)=0时，函数在这一点有极值，有可能是极大或者极小值。当L’’(x)＜0时，利润函数在这一点可以取得极大值。

例如，某面粉加工厂的经营者在对其产品的销售情况进行统计分析后，得出其利润为L(x) （元）与每月产量Q（吨）的关系为L(x)=36000x-225x2，他们希望求出产量在70吨、80吨、90吨时边际利润的数值。在解决这个问题的过程中，我们需要首先求出L(x) 对x的导数，应为L’ (x)=36000-450x。将不同的产量分别带入公式计算，可得出L’(70)=4500，L' (80)=0，L’ (90)=-4500。这说明，每月生产70吨时边际利润为4500元，每月生产80吨时边际利润为0元，每月生产90吨时边际利润为-4500元，也就是说，当每月生产量为80吨时企业可以获得最高利润[4]。

（二）需求价格弹性

为了增加销售收入，企业常常采取“薄利多销”这一销售策略。不过，在降低价格后，企业不一定能获得更高的收入。企业收入的变化趋势，与商品本身的性质和市场状况都有一定的关系。经济学家常常应用与需求定律相关的知识，确定降低价格后企业收入的变化情况。

“需求定律”是由伟大的英国经济学家阿尔弗雷德·马歇尔（Alfred Marshall，1842-1924）最早提出的，是经济学的重要定律，被称为“经济学中最著名的定律”、“经济学家最确定的定律”。根据“需求定律”，商品价格越高，消费者购买的商品越少。应用这一定律，经济学家可以评估消费者对价格变化的敏感性，预测消费者的行为。

在日常生活中，我们可以找到许多与需求价格弹性相关的例子。替代品较少的商品，其需求价格弹性通常较低。主食就是一个很好的例子，很少有商品可以替代主食，因此，主食的需求价格弹性较低。可替代性较强的商品通常具有较高的弹性。因此，奢侈品的需求价格弹性通常较高[5]。

需要注意的是，同一种商品的短期及长期弹性可能不同。在短期内，如果某一型号汽车的价格不断逐渐上升，那么消费者可能会转而购买其他型号的汽车，也就是说，消费者对特定型号汽车的需求可能有很高的弹性。不过，从长远来看，由于几乎没有其他交通方式，农村居民对汽车的需求可能没有弹性。在决策的过程中，企业的经营者应深入分析该商品的需求价格弹性，及时调整商品的价格，从而获得更高的销售收入[6]。

（三）采购决策

为了更好地进行成本管理，企业的经营者和管理者常常需要制定合适的采购策略。相关人员需要把握原料价格的变化规律，从而降低原料成本。他们常常需要应用与导数有关的知识，分析确定原料价格的最低值。一个工厂需要采购原料A，原料A的价格P存在季节性波动，我们如果用x代表月份（x为整数，1≤x≤12），并将P0作为该原料在年初时的价格，可以将该原料价格变化规律总结为P(x)=P0＊(sin(x^0.7)+2)，求在几月的时候购买该原料最划算？

在分析这个问题的过程中，我们应当注意原料价格的变化规律。经过分析可知，原料的价格存在着一定的周期性变化规律，且周期逐渐变长。因此，找到原料价格在一年当中的最低点，是解决该问题的关键。我们可以应用导数的知识求解。P’(x)=P0＊0.7＊cos(x^0.7)/x^0.3，由三角函数的性质可知，当1.00＜x＜1.90时，P’(x)＞0，价格随时间的推移逐渐上升；当1.90＜x＜9.15时，P’(x)＜0，价格随时间的推移逐渐下降；当9.15＜x＜12.00时，P’(x)＞0，价格随时间的推移逐渐上升。因此，当x介于9和10之间时，P(x)可以取得最小值。经计算得知，P(9)= 1.00＊P0，P(10)= 1.04＊P0＞P(9)。因此，在九月的时候，该原料的价格最低，为1.00＊P0。该工厂应该在九月的时候采购原料A，从而节约生产成本。

（四）营运资金决策

三、结语

在复杂多变的经济环境下，经济学家在分析问题时，需要建立相关的数学模型，才能更准确、高效地解决相关问题。应用与导数相关的知识，经济学家可以高效地计算经济变量的最优值，预测相关变量的变化趋势，为决策提供可靠的依据，这有助于企业获得更丰厚的利润，在激烈的市场竞争中更好地生存。需要注意的是，在运用数学知识解决经济学问题时，经济学家应当扎实地掌握相关理论知识，充分考虑到实际情况的具体特征，才能更好地发挥数学在经济分析中的作用。