“计算机基础”课程中进制转换的方法研究

程娜娜

(江苏旅游职业学院，江苏 扬州 225000)

0 引言

大学“计算机基础”是高校计算机专业开设的一门专业必修课，也是本专业学生初识计算机的基础课，介绍了基本的计算机发展史、基本组成、基本原理等知识外，其最重要的概念就是冯·诺伊曼提出的二进制的概念。二进制也涉及后续学习的其他课程，如“单片机技术应用”“数字电路”“C 语言程序设计”。在日常计数中，人们熟悉采用的是十进制计算，二进制与十进制以及与后来发展出来的八进制、十六进制等各类进制数之间如何相互转换成为初学者的难题。作为教师，要想将这个基本又重要的知识跟学生讲通、讲透，在教学中就要运用一定的转换方法，本文就进制转换的方法教学展开探究，将进制转换的问题作进一步阐释。

对于进制转换这部分基础知识，虽然在其他课程教学中也有出现，属于重复学习，但是还有一些学生会混淆，因为在计算机中不仅是二进制和十进制之间的相互转换，还包括十进制转换成八进制、八进制转换成十进制、二进制转换成八进制、八进制转换成十六进制等。这些相互间的转换可达12种之多，相当复杂，再把整数部分和小数部分分开讨论，学生更是乱上加乱了。笔者在多年的大学计算机课程教学中[1]，不断摸索不断积累经验，认为进制间转换是有规律可循的，一旦熟悉方法，就可以长久、熟练掌握。

1 基本概念

1.1 进制

进制(system of numeratio)也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法。X进制表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

1.2 数制

数制也称计数制，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。任何一个数制都包含两个基本要素：基数和位权。基数就是数制所使用数码的个数，例如，二进制的基数为2，十进制的基数为10。位权表示数制中某一位上的1所表示数值的大小即所处位置的价值。例如，十进制的456，4的位权是100，5的位权是10，6的位权是1。二进制中的 1100，第一个1的位权是8，第二个1的位权是4，第一个0的位权是2，第二个0的位权是1。

2 各种进制之间的转换

人们最早接触、最为熟悉的就是十进制，在实际教学中，对于进制转换这部分内容应该先以十进制为中心，把众多的转换问题简单归结为两个方面：其他进制转换为十进制；十进制转换为其他进制。学生学习起来易于接受。

2.1 二进制转换为十进制

二进制转换为十进制的传统方法为“按权展开相加法”。二进转换为十进制，基本做法：把二进制数首先按上述概念中提到的，写成位权系数展开式，然后将展开式相加求和。其位权的值要分清是整数部分还是小数部分，二进制整数从低位向高位，分别是第0位，即位权是2的0次方，第一位，即位权是2的1次方等，小数部分从低向高分别是第-1位，即位权是2-1，第-2位，即位权是2-2等，在教学中要对此特别强调，因为许多学生经常把二进制整数部分的最低位的位权习惯性从1开始标，导致下面就会跟着一起错。以下用一个实例加以说明。

将二进制数1011.01转换为十进制。1011.01按权展开即可表示为：(1100.01)B=0*2^0+0*2^1+1*2^2+1*2^3+0*2^-1+1*2^-2=(12.25)D。这边要说明的是，字母B表示二进制，O表示八进制，D表示十进制，H表示十六进制。此方法延伸到其他进制转换为十进制，按权展开相加法，将相应进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。

例如，将八进制数20.05转换为十进制。要注意的是，在八进制中，只有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7共8个数码，基数为8。20.05按权展开表示为：(20.5)O=0*8^0+2*8^1+5*8^-1=(16.625)D。

再如，将十六进制数1E1转换为十进制。在十六进制数中，共有16个数码，分别是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F，其中，A, B, C, D, E, F这6个字母分别表示10, 11, 12, 13, 14, 15，其基数为16。按权展开表示为：(1E1)H=1*16^0+E*16^1+1*16^2=(496)D。

2.2 十进制转换为二进制

十进制数转换为二进制数[2-3]，也分为整数和小数的转换，两者转换方法不同，要先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换，然后加以合并。(1)整数采用“除2取余法”。具体做法：用短除法列出竖式，将十进制整数反复除以2，每次得到一个商和一个余数，如此进行，直到商为0为止；把先得到的余数按从下往上的顺序依次排列起来，就是得到的二进制整数部分。(2)小数部分转换为二进制小数时采用“乘2取整法”。具体做法：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为0。这种乘法有时会出现乘不尽的情况，也就是说积不会为0，这时可根据题目要求保留小数位数即可。把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。以将十进制数305.25转换为二进制数的实例加以说明：

(1)整数部分。

305/2=152余1

152/2=76余0

76/2=38余0

38/2=19余0

19/2=9余1

9/2=4余1

4/2=2余0

2/2=1 余0

1/2=0余1

注意：余数部分读取的顺序为从下往上，所以得到：

(305)D=(100110001)B

(2)小数部分。

0.25

X 2

0.50 (得到整数部分0为高位)

X 2

1.00 (得到整数部分1为低位)

(0.25)D=(0.01)B

故，(302.25)D=(100101110.01)B

通过此方法延伸到十进制转换为其他进制：整数部分采用短除法，将十进制转换为N进制，就是将十进制数除以“N”，直到商为0 为止，得到一串余数，最后读数时，从最后一个余数读起，直到最前面的一个余数。小数部分转换方法为将小数乘以“N”，取整数部分，剩下小部分继续乘以“N”，再取整数部分，剩下小部分又乘以“N”，一直到小数部分为0为止。

上述两种方法只是讨论十进制与其他进制之间的转换[4]，各种进制之间要互间转换，比如，八进制和二进制数、十六进制数和二进制数，可以先把八进制数或者十六进制数转换为十进制数，再把十进制数换为二进制数，而这两步转换都和十进制有关系，虽然方法比较笨，但是可以避免出错。