高考数学中函数型最值问题初探

山东 孙 浩

纵观近几年高考数学试题，最值问题已成为新课改形势下高考数学中的必考点，考查形式灵活多样，考查比重有增加趋势.因此分析研究高考试题中的最值问题对高三复习备考意义非凡，那么高考中的最值问题都是如何呈现的呢？复习备考中应该如何应对呢？

从最值问题中变量个数来分析，可分为只含一个变量的“函数型”最值问题以及含多个变量的“均值型”和“曲线型”最值问题(此文不研究几何中的最值问题),那么如何根据变量的个数选择有效的解题策略呢？

由于篇幅所限，本文仅研究函数型最值问题，函数型最值问题顾名思义就是函数问题，即问题是以函数的形式予以呈现，请不要以为自变量就是x，它可能是一个整体，也可能是其他字母.下面笔者从函数的构成来具体分析函数型最值问题的解题策略.

1.函数单调性明确型

此类问题最大的特征是：所给函数的单调性是明确的.这类问题是由一个或几个我们熟悉的具体函数构成的，函数本身的单调性是明确的，可以转化为常见函数的单调性来求解最值问题.下面从形态结构来分析如何解决这类问题.

1.1一个或几个熟知的函数的组合

高考常以分段函数和三角函数的形式予以考查，问题函数是由一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等学生熟悉的具体函数中的一个或者两个加减运算组成，其问题函数的单调性明确，学生可以直接根据基本函数的单调性判断出所给函数的单调性，利用其单调性和所给区间求问题函数的最值.结构形态为：熟知函数+熟知函数——单调性相同.

①f(x)的最小正周期为2π；

其中所有正确结论的序号是

( )

A.① B.①③

C.②③ D.①②③

①若a=1，则f(x)的最小值为________；

②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)求f(x)在区间[-π，0]上的最小值.

1.2齐次分式型

由于在高考中基本不涉及,在这里就不举例说明了.

1.3二次函数型

高考常在三角函数最值问题中考查此类型,经过对函数式的化简转化，把一个量看成整体，形成一个二次形态结构式，因此可以利用二次函数在给定区间上的最值求法来解决这类问题.结构形态为：整体+二次.

解决此类问题要有整体意识,并且要注意新变量取值范围的变化,然后利用二次函数在给定区间上的最值求法来解决问题.

2.组合函数型——函数单调性不清楚

组合型函数问题在高考数学试题中经常会出现,其基本特征是函数是由几个函数组合而成,整个函数的单调性不得而知,无法利用具体函数的单调性来求解,这类函数只能借助导数来判断其单调性再来求解.结构形态为:含有两个或两个以上函数,无法转化为单一函数，且看不出其单调性.

【例4】(1)(2018·全国卷Ⅰ理·16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________.

(2)(2018·全国卷Ⅰ理·20节选)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0

【例5】(2020·北京卷·19)已知函数f(x)=12-x2.

(Ⅰ)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程；

(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值.

第(Ⅰ)问切线方程y=-2x+13.

【例6】(2020·天津卷·20)已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数.

(Ⅰ)当k=6时，

(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

第(Ⅰ)问(ⅰ)切线方程为y=9x-8.

通过以上分析可以看出,当遇到多个函数组合构成一个新函数时,必须用好导数这个强有力的工具,借助导数来研究组合函数的单调性,利用函数的最值一般在极值点或区间端点取得来求解相关问题.