Matlab应用于量子力学课程教学研究

钟志有，龙 浩，陈首部

(中南民族大学 电子信息工程学院，湖北 武汉 430074)

1 引言

量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，已被广泛应用于宇宙学、材料学、生物学和化学等有关学科和许多近代技术中[1～7]。作为一门建立在公理体系上的科学，其理论抽象难懂、计算繁琐复杂、数学要求高，因此学习起来难度大、效果差[8,9]。Matlab是目前最为常用的科学计算软件之一，不仅使用简单、运算高效、便于扩展，而且其数值计算能力和可视化功能非常强大[10～19]，因此被广泛应用于数据分析、数值计算、图像处理、模拟仿真等科学研究和教学实践中[20～25]。本文以超越方程和线性谐振子作为例子，阐述了Matlab在量子力学教学中的应用。

2 方程求解

在量子力学中，求解定态薛定谔方程时可能得到超越方程，一般采用图解法，不仅枯燥繁琐、工作量大，而且解的精度也难满足要求，这时如果利用Matlab软件处理就能迎刃而解、事半功倍。例如：由黑体辐射公式导出维恩位移定律―能量密度极大值所对应的波长λm与温度T成反比，即λmT=b(常数)，并近似计算b的数值。

根据黑体辐射公式[1,5]：

ρ(v)dv=8πhv3c-3(ehv/kT-1)-1dv

(1)

利用ρ(v)dv=-ρ(λ)dλ，v=c/λ，易得ρ(λ)的表达式为：

ρ(λ)=8πhcλ-5(ehc/λkT-1)-1

(2)

令x=hc/λkT，由dρ(x)/dx=0可得：

xex-5ex+5=0

(3)

方程(3)为超越方程，利用Matlab软件求解只需在Command Window中输入如下指令即可(图1)。可见当x=hc/λkT=4.9651时ρ(λ)取得极大值，故得常数b=2.903×10-3m·K。Matlab求解超越方程，工作量明显减小。

图1 Command Window中输入的指令和运行结果

3 线性谐振子

取一维线性谐振子的平衡位置为坐标原点O，并选O点的势能为零[1]，此时势能表达式为V(x)=mω2x2/2，对应的能量本征方程为:

(4)

通过无量纲变换[5]，利用波函数标准条件，可得线性谐振子的能量为:

En=(n+1/2)ħω,n=0,1,2,……

(5)

相应的波函数和几率密度如下：

ψn(ζ)=Nnexp(-ζ2/2)Hn(ζ)

(6)

(7)

式(6)中，Nn为归一化常数，Hn(ζ)为厄密多项式。可见，线性谐振子的能量是分立的、均匀分布的，并且存在零点能E0=ħω/2。而对于经典的线性谐振子，ζ=asin(ωt+δ)，其几率密度为：

w(ζ)=(a2-ζ2)-1/2/(2π)

(8)

为了直观分析量子数n对波函数和几率密度的影响，基于上述公式利用Matlab软件编程绘制了相关图像(图2)，其中虚线为经典情况的几率密度。由图2可知，线性谐振子的波函数具有确定的宇称，n为奇数时为奇宇称，n为偶数时则为偶宇称。波函数的节点个数随量子数n增加而增加。另外，量子数n较小时几率密度与经典情况没有相似性，n增大时相似性随之增加。当n=15时，量子和经典的两种情况在平均上基本符合，差别在于|ψ(ζ)|2迅速振荡而已。Matalb模拟结果与理论分析完全一致[1,5]。

图2 量子数对波函数和概率密度的影响

4 结语

本文针对学生学习量子力学所遇到的实际问题，以超越方程和线性谐振子作为实例，利用Matlab软件进行求解分析和可视化处理，从而大大简化了繁琐的计算过程，将抽象难懂的理论知识变得形象直观，因此有利于强化物理实质讲解、优化课程体系、激发学生学习兴趣，对于提高量子力学教与学的效率都具有非常重要的作用。