最佳平方逼近的多元二次函数最值问题

岑达康，汪志波

（广东工业大学应用数学学院，广东广州510520）

定义［1］对f（x）∈C［a，b］及C［a，b］中的一个子集φ=span｛φ0（x），φ1（x），…，φn（x）｝，ρ（x）为非负函数，若存在S*（x）∈φ，使

则称S*（x）是f（x）在子集φ⊂C［a，b］中的最佳平方逼近函数。

1 求解最佳平方逼近函数

若S*（x）∈φ，其中φ0（x），φ1（x），…，φn（x）线性无关。由式（1）可知求解S*（x）等价于求多元函数

在最小值处 a0，a1，…，an的取值。

式（2）可展开成

2 数值实验

例1 设f（x）=ex，求［0，1］上的一次最佳平方逼近多项式。

图1为例1的结果图。

图1 最佳平方逼近多项式

3 结语

数值分析教材中通常将最佳逼近函数问题通过多元偏导的方法转换成极值问题予以证明。本文将最佳逼近函数问题与多元二次函数最值的问题联系起来，依据线性无关函数族的格拉姆矩阵的正定性，得到最佳平方逼近函数以及误差。