基于教材的小学数学拓展课程设计原则

童义清

摘    要    小学数学拓展课程，是基础课程的有益补充，是发展小学生数学核心素养的重要载体。基于教材设计小学数学拓展课程，须保证课程设计基于真实学情，目标清晰明确;确保基础课程到拓展课程的过渡由易到难，且拓展课程本身也应由简单到复杂;兼顾拓展课程内容的典型性和解决问题策略的典型性，帮助小学生“见‘少识‘广”;提升拓展课程的吸引力，达到“有意义且有意思”。

关键词   教材 小学数学 拓展课程 设计原则

小学数学拓展课程，作为基础课程的有益补充，它是儿童进一步探索新知识的材料、进一步提升核心素养的载体，更是进一步感悟数学魅力的平台。然而就普通小学数学教师而言，限于课程研发理论、研发经验和实施条件的束缚，“基于教材—因需设计—班本实施”，不失为一种灵活实用的拓展方式。下面，笔者就从教材的角度谈谈小学数学拓展课程设计的基本原则。为了方便交流，以苏教版《数学》六年级下册“圆柱的表面积”为例，分享笔者设计的“多变的圆柱表面积”这一拓展课。

一、目的性

有的放矢，是研发和设计拓展课程的基本原则。为什么要设计“多变的圆柱表面积”这节拓展课呢？这是因为笔者发现：对六年级的学生而言，“圆柱的表面积”这一课学生学得既“不过瘾”，也“不彻底”。

苏教版教材在这一节内容安排了2道例题和13道练习。根据SOLO分类评价水平，笔者对这些例题和习题做了如下分析。

苏教版数学教材的这种编排，难度层次分明，重点难点突出，“四基”导向鲜明，是一种非常理想的基础课程。合肥市城区的六年级学生起点整体较高，每个班级至少有60%的学生在校外教育机构参加数学拓展课程学习。所以，从学生的真实学习情况来看，教材上的这2道例题和13道练习题，留给学生的经验仅仅还停留在“求一个完整的圆柱体表面积”和“求缺少1个面或缺少2个面的圆柱体表面积”，留给学生的印象多是枯燥繁杂的计算、人为设置的单位换算、近似数如何取值等相对固化的要求。生活中，还有大量的、美妙多变的圆柱表面积问题得不到注意，与他们认知需求相适应的拓展内容得不到补充，学生的视野和思维得不到最大程度的提升，这不得不说是一种客观而真实的缺憾。

因此，笔者综合了圆柱表面积问题的各种情形，提炼和设计了“多变的圆柱表面积”这一拓展课，内容包括“组合圆柱的表面积”“切割圆柱的表面积”“卷旋圆柱的表面积”三个拓展内容。这三个拓展内容，基本覆盖了小学生可以接受的圆柱表面积的所有问题，可以帮助学生“学得过瘾”“学得彻底”。

二、层次性

美国教育心理学家加涅认为：“人类的学习是复杂多样的，是有层次性的，总是由简单的低级学习向复杂的高级学习发展，构成了一个依次递进的层次与水平。”小学数学拓展课程，既要与基础课程形成层次性，其自身又要具有层次性。

第一，拓展课程与基础课程形成层次性。苏教版数学教材上的基础课程，重在引导学生理解表面积的计算方法，通过2道例题和13道练习题，主要训练学生应用公式的能力，教材突出的是基础知识和基本能力;“多变的圆柱表面积”一课不再是简单的记忆公式、理解公式、应用公式，而是融入了分析、创造等高阶思维活动，无论是解答过程、方法的复杂程度上，还是内容和思维的要求上，都有了更高的要求。

第二，拓展课程自身具有层次性。“多变的圆柱表面积”课程内容，从情境原形上看，“组合圆柱的表面积”属于静态问题，学生直观可见;“切割圆柱的表面积”属于动态问题，学生理解难度有所提高;“卷旋圆柱的表面积”则是需要借助思维想象的问题，对学生的空间观念要求较高。这三个拓展内容，难度逐渐升级，思维抽象程度不断递进。从内容结论上看，“组合圆柱的表面积”规律明显，变式不多，学情基础好;“切割圆柱的表面积”规律较明显，变式较多，学情基础较好;“卷旋圆柱的表面积”规律不明显（如用一张长方形纸，横着卷形成的圆柱表面积比竖着卷形成的圆柱表面积小的规律是：■-■），学情基础不足。所以，这种层层递进的拓展课程设计，遵循了儿童学习由易到难的规律，符合儿童认知事物的基本特点。

三、典型性

设计什么样的拓展课程，才能让学生“见少识广”呢？拓展课程具有良好的典型性，是不二选择。典型课程，既要做到内容典型，还应兼顾到解决方法的典型。如果一道拓展习题能够代表一类拓展内容，一节拓展课能够折射一个体系的拓展精髓，是设计小学数学拓展课程的理想境界。

“圆柱的表面积”涉及问题多，具体的例子、情境更是数不胜数。笔者从“组合圆柱”“切割圆柱”“卷旋圆柱”三方面进行提炼，并通过典型内容的呈现，引导学生进行探究，从而发现其中的规律，掌握解决的方法，最终建立良好的数学模型。比如，在“组合圆柱的表面积”这个拓展内容中，笔者设计了求“一大一小、上下叠放的组合圆柱表面积的问题”（见图1），并组织学生自主探究解决方法。这种组合形式是最基本的组合，当然也是最典型的组合。学生在解决这个问题的过程中，一般会出现两种思路：思路一是“S组表=S大表+S小表-2S小底”，思路二是“S组表=S大表+S小侧”。两种思路，体现了解决组合圆柱表面积问题的两种典型方法：“面积加减法”和“抵消转化法”。这种典型内容和典型的解答方法，都有利于学生形成解决类似问题的“基本活动经验”。再如，在“切割圆柱的表面积”这个拓展内容中，笔者通过与学生研究“横切圆柱”和“竖切圆柱”后表面积变化的典型规律（见图2），引领学生深度理解和建构“切割圆柱的表面积”问题的基本模型。

四、趣味性

如何增强拓展课程的吸引力呢？拓展课程的深度和广度都胜过基础课程。加强课程的趣味性，不但是基础课程的要求，更是拓展课程的“刚需”。作为课程的设计者，我们需要准确把握不同学段儿童的兴趣点，有效提升课程吸引力。比如，面对第一学段的儿童，我们可以在形式上体现趣味，以增强课程的吸引力;针对第二学段的学生，我们可以在内容上和方法上体现趣味，以更好地吸引学生参与学习。

在“多变的圆柱表面积”一课中，三个内容因为体现了三种不同的乐趣，受到了学生的欢迎。“组合圆柱的表面积”，体现“挑战之趣”。接受最近发展区内的挑战，是每个人与生俱来的好奇心理和进步心理。学生学习基础课程时，一旦掌握了计算公式，接下来就是翻来覆去地应用在一个又一个圆柱上，有的要计算3个面，有的要计算2个面，还有的只要计算1个侧面。学生一旦遇到需要计算两个圆柱或者多个圆柱组合的表面积，必然会产生挑战的乐趣，这种乐趣驱动学生主动积极地投入到一个新知探索的过程之中。“切割圆柱的表面积”，体现“思考之趣”。与基础课程相比，把一个圆柱“横着切”“竖着切”，而且研究“截面”，这不是像做游戏一样，很有趣的一种思考活动吗？在這种带有儿童游戏色彩的思考过程中，去建构数学模型，对每位学生来说都有强烈的思考乐趣。“卷旋圆柱的表面积”，体现“操作之趣”。皮亚杰说：“儿童的智慧，发源于指端”，同样，儿童的乐趣，也源自指端。真实可见的普通纸张，通过横着卷、竖着卷，横着旋转、竖着旋转都能形成圆柱体，这不是很神奇吗？更重要的是，学生还能通过趣操作之后的冷思考，找到表面积大小的规律，让好玩的操作成为探寻数学结论的素材。

小学数学拓展课程的设计，从不同的维度和视角，还有许多需要注意的地方，比如系统性问题、科学性问题、针对性问题、评价性问题等等。这些都值得我们在具体实践中不断探索、不断总结，从而为儿童数学核心素养的真正落地做出我们应有的贡献。

[责任编辑：陈国庆]