随机微分方程平衡θ-Heun法的收敛性

2020-11-18康红喜张引娣

郑州大学学报（理学版） 2020年4期

康红喜，张引娣，蒋茜

(长安大学理学院陕西西安 710064)

0 引言

随机微分方程由于能够很好地描述各种事物的客观现象，所以被广泛应用于各个领域。为了能够更加准确地解释说明各种客观现象，学者们先后研究出了许多数值方法。收敛性与稳定性是研究一个新数值方法的主要对象，它们能够评判一个数值方法是否有效。文献[1-6]分别研究了Euler法、Milstein法的收敛性。另外Heun方法[7]和全隐式的平衡方法[8]也是求解随机微分方程的有效方法。θ-Heun方法[9]是在Heun方法的基础上改进得到的。本研究对θ-Heun方法进行改进，构造一种新的Heun方法，即平衡θ-Heun方法，并研究用这种新方法求解随机微分方程的收敛性。

1 随机微分方程与数值方法

1.1 随机微分方程

(1)

其中:t∈[0,T]；x∈Rd，称函数f(x)为漂流项，函数g(x)为扩散项，二者在[0,T]上都是连续可测的，且有E|x0|2<∞;随机过程W(t)是滤过概率空间(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的标准布朗运动，当t>0,步长h>0时，其增量ΔW(t)=W(t+h)-W(t)独立于{Ft}，因此有ΔW(t)～N(0,h)。

1.2 数值方法

定义1求解方程(1)的θ-Heun方法[9]为

Xn+1=Xn+(1-θ)f(Xn)h+g(Xn)ΔWn+θf(Xn+hf(Xn))h，

(2)

在这个方法的基础上结合平衡法的思想，构造出一种新的Heun法，即平衡θ-Heun方法。

定义2称

Xn+1=Xn+(1-θ)f(Xn)h+g(Xn)ΔWn+θf(Xn+hf(Xn))h+Cn(Xn)(Xn-Xn+1)

(3)

为求解随机微分方程(1)的平衡θ-Heun方法，当θ=0时，方法(3)即为平衡法。式(3)中Cn(Xn)=C0(tn,Xn)h+C1(tn,Xn)|ΔWn|,记C0(X)=C0,C1(X)=C1,控制函数C0、C1为d×d的实值矩阵，满足可逆矩阵

M(t,X)=I+α0C0(t,X)+α1C1(t,X)，

在本文中我们记x(tn)是方程(1)在tn处的精确值，Xn是用平衡θ-Heun方法在tn处求得方程(1)解的近似值，X(tn+1)是用平衡θ-Heun方法在x(tn)处进行一步迭代得到的近似解。

2 平衡θ-Heun方法的收敛性

定义3[11]记平衡θ-Heun方法的局部误差为δn+1=x(tn+1)-X(tn+1)，n=0,1,2,…，N-1。全局误差为εn=x(tn)-Xn，n=1,2,…，N-1。

定义4[12]若存在正常数C(C与h无关)，当h→0有

则称p1、p2、p分别为数值方法在均值意义下局部收敛阶、均方意义下局部收敛阶、均方强收敛阶。

引理1[13]如果f(x)、g(x)满足条件

(i) Lipschitz条件：对任意的x,y∈Rd，存在常数L1>0，使得

|f(x)-f(y)|2∨|g(x)-g(y)|2≤L1|x-y|2；(ii) 线性增长条件：对任意的x∈Rd，存在常数L2>0，使得

|f(x)|2∨|g(x)|2≤L2(1+|x|2)或|f(x)|∨|g(x)|≤L2(1+|x|)；

那么方程(1)满足性质

(ii)∀t0≤s≤t≤T，有E|x(t)-x(s)|2≤c(t-s),c>0。

2.1 均值、均方相容阶

定理1如果方程(1)满足引理1的(i)和(ii)，矩阵函数M(x)可逆且满足|M(x)|≤K，假设矩阵函数C0、C1各分量一致有界，则平衡θ-Heun法是p1=3/2阶均值相容，p2=1阶均方相容，即

其中：C是不依赖于h的常数，但是可以依赖于T和初值x0。

证明设0

(4)

(5)

由于δn+1=x(tn+1)-XB(tn+1)，再利用θ-Heun法的均值、均方相容阶定理1[9]，则

|E(δn+1)|=|E(x(tn+1)-XB(tn+1))|≤|E(x(tn+1)-XH(tn+1))|+

|E(XH(tn+1)-XB(tn+1))|≤Ch2+|E(XH(tn+1)-XB(tn+1))|。

(6)

从真解x(tn)出发，对XH(tn+1),XB(tn+1) 分别经式(2)和式(3)一步计算可得

XB(tn+1)=x(tn)+(I+Cn(x(tn)))-1((1-θ)f(x(tn))h+

θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)，

(7)

XH(tn+1)=x(tn)+(1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn。

(8)

结合式(7)、(8)可得

XH(tn+1)-XB(tn+1)=[I-(I+Cn(x(tn)))-1]((1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+

g(x(tn))ΔWn)=[(I+Cn(x(tn)))-1(I+Cn(x(tn)))-(I+Cn(x(tn)))-1]((1-θ)f(x(tn))h+

g(x(tn))ΔWn+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h)=(I+Cn(x(tn)))-1Cn(x(tn))((1-θ)f(x(tn))h+

θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)。

(9)

记Cn(x(tn))=Cn，因为ΔWn与Ftn独立，所以E((I+Cn)-1Cng(x(tn))ΔWn)=0，再由|M(t,x)-1|≤K可得

|E(XH(tn+1)-XB(tn+1))|=

|E(I+Cn)-1Cn((1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)|≤

Kh|E(Cn(1-θ)f(x(tn)))|+Kh|E(Cnθf(x(tn)+hf(x(tn))))|。

(10)

|E(Cnθf(x(tn)+hf(x(tn))))|≤E(E(|Cnθf(x(tn)+hf(x(tn)))||Ftn))=

E(|θf(x(tn)+hf(x(tn)))|E|Cn|Ftn)≤E(|f(x(tn)+hf(x(tn)))|E|C0h|+|C1||ΔWn||Ftn)≤

(11)

同理可得

|E(Cn(1-θ)f(x(tn)))|≤Ch1/2。

(12)

结合式(6)、(10)～(12)得，|E(δn+1)|≤Ch2+Ch3/2≤Ch3/2,h→0。

下面我们证明定理的第二部分。

对δn+1=x(tn+1)-XB(tn+1)两边平方并取均值，可得

E|δn+1|2=E|x(tn+1)-XB(tn+1)|2≤2E|x(tn+1)-XH(tn+1)|2+2E|XH(tn+1)-XB(tn+1)|2≤

2Ch2+2E|XH(tn+1)-XB(tn+1)|2。

(13)

根据式(9)，利用不等式(a+b+c)2≤3a2+3b2+3c2，可得

其中：

E|Cnf(x(tn))h|2≤h2E(E|Cnf(x(tn))h|2|Ftn)≤2h2E(|f(x(tn))|2E(|C0|2h2+

|C1|2|ΔWn|2|Ftn))≤2L2h2(|C0|2h2+|C1|2h)E(1+|x(tn)|2)≤Ch3。

(14)

同理

E|Cnf(x(tn)+hf(x(tn)))h|2=h2E(E|Cnf(x(tn)+hf(x(tn)))|2|Ftn)≤

(15)

又E|Cng(x(tn))ΔWn|2=E(|g(x(tn))|2E(|CnΔWn|2|Ftn))，而

因此

(16)

2.2 均方收敛阶

定理2在定理1的条件下，对于方程(1)平衡θ-Heun法的均方收敛阶为1/2，即

其中：C为常数。

证明设0≤θ≤1，

(17)

其中：

μn=(I+Cn(x(tn)))-1((1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)-

(18)

结合欧氏内积〈x,y〉=xΤy,〈x,x〉=|x|2，对式(17)两边平方并取均值可得

E|εn+1|2=E〈εn+δn+1+μn,εn+δn+1+μn〉≤

E|εn|2+2E|δn+1|2+2E|μn|2+2|E〈εn,δn+1〉|+2|E〈εn,μn〉|。

(19)

进一步计算式(18)，得

(20)

为了方便讨论，令

(21)

结合式(20)、(21)，可得

E|μn|2=E|An((1-θ)f(x(tn))h+θf(x(tn)+hf(x(tn)))h+g(x(tn))ΔWn)+

(22)

下面设max{|C0(x)|,|C1(x)|}≤M2，利用引理1，分别计算(22)式最后一个不等式的各项，即

6E|Anf(x(tn))h|2≤

(23)

同理可以得到

(24)

由E|ΔWn|4=3h2，则

(25)

(26)

(27)

(28)

根据式(22)～(28)，可得

E|μn|2≤Ch2+ChE|εn|2。

(29)

接下来计算式(19)的后两项，由|Eδn+1|≤Ch2及Holder不等式，可得

2(E|εn|2)1/2(E|Ch2|2)1/2≤2(hE|εn|2)1/2(h-1E|Ch2|2)1/2≤hE|εn|2+Ch3。

(30)

同理

则

2|E〈εn,μn〉|≤hE|εn|2+Ch2+ChE|εn|2≤Ch2+ChE|εn|2。

(31)

又因为E|δn+1|2≤Ch2，结合式(19)、(29)～(31)，得

E|εn+1|2≤Ch2+E|εn|2+Ch2+ChE|εn|2+hE|εn|2+Ch3+Ch2+ChE|εn|2≤

(1+Ch)E|εn|2+Ch2。

(32)

3 数值实验

对于试验方程dx(t)=-5x(t)dt+0.5x(t)dW(t)，当x0=1,T=1，我们用h=Δt=2-4来模拟该方程的精确解。对于数值方法的控制参数取C0=-λ/2,C1=0以及θ=0.15时，用Matlab软件模拟平衡θ-Heun法和θ-Heun法的数值解，得到图2。通过观察图2可以知道平衡θ-Heun法的数值解与精确解逼近程度优于θ-Heun法。