高数中微积分的经济运用研究

尚煜萌

摘 要： 随着中国经济发展进程的不断加快，数学科学的地位也得到了有效巩固并呈上升趋势，随着信息技术的迅速发展，经济学理论中的定性分析方法逐渐将定量和定性分析相结合。它已被转化为一种分析方法，并主要以数据为基础进行了深入的论证和证明，高等数学在经济发展过程中起着关键的推动作用，目前中国每所大学都在各个领域应用高等数学。事实证明，越来越多的人意识到以更高的数学方式深入分析经济理论的能力。

关键词： 高等数学;微积分;经济应用

【中图分类号】G633     【文献标识码】A     【DOI】10.12215/j.issn.1674-3733.2020.35.161

引言：高等数学不仅在经济学领域得到了广泛的应用，为经济研究奠定了良好的基础，而且由于已成为科学合理的技术，在日常生活中也发挥了不可忽视的作用。数学知识不仅持续地参与人们的生产生活，而且已经广泛地应用于科学和技术的各个领域，微积分在高中数学中的应用相对广泛，因此被应用于与物理学，经济，运输和过程有关的领域。因此，在当今快速发展的经济中，充分展示数学的价值是一项重要任务，使学生能够充分利用与高中数学相关的知识来在社会中生存。将来对经济现象进行分析变得很重要。

1 微积分理论的由来

在高等数学中，微积分属于数学领域，其应用到概念和应用用于高等数学中的一项分支，并且与微分学，极限和积分学的应用有关是数学系的基本学科。17世纪以来，尽管微积分的概念和技术在某种程度上被用来解释物理学和天文学的问题，但是直到19世纪，数学分析的严格性问题未得以解决。在1818世纪中期，以牛顿、莱布尼兹等为主，认识到了这个问题并进行了大量研究，但仍然无法解决问题。19世纪下半叶，法国数学家柯西通过极端存在的法则将引入微积分，并提出了极限理论风格;随着极限理论的出现，微积分是基于严格的分析来发展20世纪的数学提供了条件。

2 高等数学中微积分在经济领域的运用

2.1 微分学在经济领域的应用

（1）极限理论在经济学领域的应用极限理论在经济学中很常见，通过借用最优值或极限值预测和分析经济问题，实现了资源的最优配置。或最大化利润;通过极端理论解决连续的复利问题;例如，如果设置银行储蓄的现值P和终值B，则年利率为r。然后，如果将t年后的本金和将来值B=（1+r）t：如果一年划分为n次并进行复利，则每个期间的利率为3，并且1年后的本金和终值如下：B=P（1+rn）n

T年后本利与将来值的计算则是：B=P（1+rn）m

若n→若，那么r年后本利与将来值的计算则是：B=limP（1+rn）m=Pe·

由于能够总结出现值P与将来值B二者的关系，即：B=Pet或P=Be-1

由于现值P走1，利率r为100%，故而t=1，那么则可推测出B=e在上述情况下应用极限理论表明，如果一个数字在经济学上具有极限，则该极限理论将被应用。换句话说，在趋于无穷大或为零的情况下，通过在微积分中极限思维来解决经济学问题可以简化过程，并使思维方向更加清晰。

（2）微积分和导数在经济领域中得到应用，因此将经济领域中存在的相对较复杂的问题转换为数学模型。这样做可以有效地应用导数和微积分的知识，这是导数在经济领域中最常见的局限性和弹性。在此讨论极限分析的应用进行阐述。

济学领域的限制问题主要是经济功能的变化率。换句话说，将经济函数f（x）的导数f（x）设置为该函数的边际函数，并将边际函数的某一个点德值为边际值，总成本函数为产量的导数作为边际成本，经济含是产量为q，另生产一个单位（Δq=1）而获得的总成本ΔC（q）：边际收益即销售量是q时，另销售一个单位（Δq=1）获得的总收益ΔR（q）：边际利润的经济含义即销售量是q时，另销售一个单位（Δq=1）获得的总利润ΔL（q）。

典型的如，某企业内某种产品收益R（元）为销售量q（吨）的函数R（q）=200q- 0.01q2，计算销售50吨本产品的边际收益，对经济含义进行分析。

求解：由以上给出的条件得出，销售q吨产品总收益函数即R.（q）=200- 0.02q。故50t产品销售后的边际收益计算是R.（50）=200-0.02×50=199（元）;经济含义分析则为：在销售50t本产品的情况下，另增加1t（△q=1）获得的总收益则为199元。

3 利用微积分进行弹性分析

在进行编辑分析时，我们必须将经济函数视为绝对数量和绝对变化率，在现实生活中，我们在经济函数和相对变化量之间具有变化关系。我们研究是否存在这种变化，我们称这种分析这种变化关系的方法称为弹性分析，在我们的经济生活中，这种分析方法已经在我们的生活中得到了广泛的应用。通过这种方式可以分析和解释许多现象：可以得出设定函数Y=FX。这种功能性反应的自变量具有的变化：是否及时，当然，各种类型的经济函数都具有弹性上面的表达式是不同的：在一般情况下，需求价格的弹性都称为需求弹性。因此，我们需要很好地控制需求价格的弹性。这些数据对于我们确定商品价格是重要的参考。

需求函数：Q=Q（p）需求弹性：EQEp=QQp在EQEp>1的条件下，该产品的需求可以具有相对较大的弹性，在这种情况下，人们对商品需求的变化范围会比较价格，而价格变化的范围也会变化。②在EQEp=1的情况下，这种产品的需求量称为单位弹性，并且产品需求量变化的幅度与产品价格变化相同。不论涨价还是降价，我们的需求量都不会发生重大变化。③在EQEp<1的情况下，这些产品被称为低弹性或缺乏弹性产品。此时，如果商品需求量的变化略小于价格的变化，则总收入将下降，但是提高适当的价格将减少我们的销售量，但会增加总收入。

从关于弹性需求的知识可以看出，如果產品具有相对较高的弹性，则产品的价格将对需求做出更敏感的响应，如果管理层降低产品的售价，公司将获得更多利润，因为商品降价从而导致消费者购买产品的欲望以增加销量。换句话说，当我们将销售价格定为10元时，每增加1%，消费者对产品的需求就会相应下降在市场经济环境中，公司经理必须保持产品的价格弹性并正确调整价格可以帮助企业获得大量的市场利润。

4 利用微积分进行最值分析

最有价值的问题是经济领域中最常见的问题。例如，成本最低材料最少，时间最短利润最高。在高等数学领域，该问题可以统一认为是目标函数最值的问题.当用一个特定的经济变量表达其他经济变量时，它实际上与对应于经济函数的最值的问题有关，微积分系数的合理运算是最值的经济函数。可以实现有效对经济函数最值的判断和发现。举例说明：a公司产品的边际成本C′（ x）=1000+52x（单位：元/台）在当前技术条件下固定为产品成本的500元，边际利润如下′（ x） = 2000 + 2x，要求对已知条件进行整理和分析，可以实现多少生产以实现最大利润的条件，则边际利润为：L′（x） =′（x） C′（x）=1000-12x。令L′（ x）的值为0，x=2000单位，即当产量达到2000单位时，边际利润为高。

例如，在当前技术条件下，将公司产品的边际成本（单位：元/单位）固定为产品成本的500元，输出为边际利润则如下订单的值为0，x=2000单位，即，当输出达到2000单位时，边际利润可以最大化。

5 边际分析

边际分析研究的重点是当一个经济变量发生变化时另一个经济变量的变化情况。关于微积分导数可以看作是经济中的替代品，但是边际函数的经济意义出现在自变量x级别上，并且当自变量改变时y=f（x）变量的相似性也出现了.例如，A公司的利润L与产品的月产量x之间的关系是L（x）=250x-5x2，当产品的月产量为20t，25t和35t时，将确定公司的边际利润。如果每增加1吨，利润将增加50元。当月产量为25吨时，产量增加1吨，利润不会改变;当月产量为35吨时，产量增加1吨，利润会减少100元。根据分析结果，在市场经济环境下，公司的生产管理应综合考虑各种因素。并不是拥有的产品越多，获得的利润就越多，企业必须从实际出发，做出正确的决定以促进企业稳定健康的发展。

结语：通过对高数中微积分的经济运用研究，我们可以非常精确地指导经济与高等数学之间的关系。目前，微积分已在许多经济领域中应用，并且其应用方法不仅限于稳重提到的集中，因此我们在国内外数学的各个领域引入知识，并利用各种数学分析工具。使数学应该发挥更大的作用，去解决生活中的实际困难，对于经济领域的员工，我们对数学分析方法有很好的理解，可以为管理人员做出更好的经济决策。可以帮助经营者提出更好的经济策略。

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