关于曲率及其应用的分析

◆摘  要：本节探讨曲率的概念以及求解方法。结合实例启发学生理解曲率的基本概念。进一步地，分析这些性质在不同方面和背景下的应用。

◆关键词：曲率;导数;弯曲程度

高等数学是大学新生普遍会开展的一门数学基础课，其对学生专业课程的学习也有着积极重要的促进作用。然而，较强的逻辑推导和繁杂的公式让许多学生望而生畏。如何在数学课程的教学中深入浅出地讲解重难知识点，形象直观地处理代数问题，这是本文尝试探讨的主题。

在同济大学第7版的高等数学中，第三章《微分中值定理与导数的应用》第七节讲解了曲率的概念及其计算。在前面的课程中我们介绍了函数的连续性、可导、单调性以及如何求函数的极值。连续性说明了函数是连绵不断的，可导则反映了函数在某一点处的切线的斜率。从几何上看，那些可导的曲线，为什么弯曲程度会有很大的不同呢？这就是本节探讨的主题。我们在本文中探讨如何引导学生运用导数、弧微分等工具来分析曲线的弯曲程度。推导如何利用弧微分来建立曲率的公式，结合具体的例题理解曲率的基本概念以及求解。并且，在实践中结合问题的背景建立分析求解曲率的模型，运用求导公式等来求解实际问题中的曲率应用。结合这一部分的内容探讨高等数学的学习中如何将理论联系实践，调动学生的积极性，提高学生学习数学的热忱与能力。

一、曲率的定义

结合引例的分析引导学生思考曲线弯曲程度问题的提出过程。思考如何用数学的语言将其描述出来，进而运用弧微分工具加以解决。强调对微分基本概念的理解。

u观察与分析

问题1：结合图形观察曲线弧的弯曲程度與什么因素有关？

切线的转角 弧段的长度

曲线的弯曲程度不仅与切线转动的角度有关，还与移动的弧长有紧密关联。结合几何图形启发学生思考如何刻画一小段弧段上的弯曲程度。怎样度量平均曲率？

◆曲率的定义

通过曲率的分析与推导过程感受微积分的学习对实践问题分析的强大作用。理解数学是从生活中提出、发展与不断创新的学科。

◆曲率圆与曲率半径

设曲线在点[M]处的曲率为[K]（[K≠0]）. 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于[M]且半径为[1/K ]的圆.称其为曲线在点[M]处的曲率圆.圆心叫做曲率中心， 半径叫做曲率半径.

二、曲率的计算

结合例题的分析帮助学生理解曲率的计算方法。

例题1求半径为[R]的圆上任一点处的曲率.

解：根据

曲率公式反映了曲线的弯曲程度，是解决现实问题特别是涉及到曲线问题的有力工具。采用特殊到一般的方式展开对曲率计算的分析。思考如何根据弧微分公式来推导与应用曲率公式。

三、曲率的应用

如何结合实际问题的背景运用曲率公式对初学微分的同学们有较高的计算技能与理论理解方面的要求。在这个过程中，涉及到大量的公式推导与计算，所使用的弧微分等微积分思想也比较有难度。不同的问题背景需要不一样的设计形式，构造方法灵活，对学生的初次学习是一个挑战。可以适当地引入一些课后思考题帮助学生对曲率的理解与掌握。例如，引导学生探讨怎样利用曲率分析砂轮问题。

思考题：设工件内表面的截线为抛物线 [y=0.4 x2]。现在要用砂轮磨削内表面。

问用直径多大的砂轮才比较合适？

重点指出曲率公式在刻画曲线弯曲程度中的重要作用。在引例、例题与课后思考题的分析中启发学生体会数学的重要作用。学会理解微分的基本思想。

四、总结与拓展

本节探讨了曲率的概念与计算。引导学生理解弧微分以及曲率的概念。熟练掌握运用弧微分公式以及曲率公式求解各种曲线的曲率问题。并且，通过结合实际例子让学生了解到曲率如何定量地反映了曲线的弯曲程度。并且，通过结合实际例子让学生了解到曲率如何定量地反映了曲线的弯曲程度。培养学生运用弧微分以及曲率公式求解曲率的能力。提高学生合理利用以及选择数学工具的实践能力。

参考文献

[1]左玲.浅谈人工智能时代的工科数学教育[J].考试周刊，2018： 1673-8918.

[2]高等数学.第七版上册.同济大学数学系[M].高等教育出版社，2018.

[3] Joel Hass，Christopher Heil， Calculus， Pearson， 2003.

[4]Richard Courant， Fritz Jo， Introduction to Calculus and Analysis， Springer，2008.

作者简介

左玲（1981.08.25—），女，汉，湖北武汉人，博士研究生，副教授，工作年限15年，湖北工业大学，理学院。

基金：湖北工业大学博士启动基金：BSQD2016046，基于熵的半监督算法理论分析及应用。