运用数学方法 巧解遗传难题

湖北

生物学中许多遗传计算、分析题对学生来说存在一定的难度，但如果能巧妙应用数学的思维方法和解题方法，那么很多题目便可以迎刃而解，既可以提高解题的速度和准确率，还可以深化学生对知识的理解。

1.用数学归纳法证明自由交配淘汰隐性个体的公式

【例1】基因型为Aa 的个体，随机交配n 代，每一代淘汰其中的隐性个体，求第n 代中AA 和Aa 个体所占的比例。

【答案】n/（n+2） 2/（n+2）

【分析】

2.数列方法

还可以运用数列方法推导上述公式。

解：设Fn中Aa 的概率为an，可求得F1中Aa 的概率为a1=2/3

则Fn-1中Aa 的基因型频率P（Aa）=an-1，AA 的基因型频率 P（AA）=1-an-1

由基因型频率求基因频率，Fn-1中的P（A）=1-an-1+=1-，P（a）=

由Fn-1中的基因频率求Fn中基因型频率，

再淘汰掉aa 个体，剩下的个体中Aa 占所有个体的比例为

还可以用这个方法推导连续自交n 代同时淘汰隐性个体等比较复杂的概率计算题。

3.条件概率

在求解遗传概率时，经常会碰到一些需改变范围、改写比例的问题，如致死、淘汰、求雌性个体中的显性个体、求显性个体中的纯合个体等问题。这类题目，学生常常容易出错，但是如果采用条件概率的方法求解，则不容易出错。

【例2】果蝇的灰身与黑身（设基因为A/a）、红眼与白眼（设基因为R/r）是两对相对性状。两只纯合亲代果蝇杂交，F1无论雌雄全为灰身红眼果蝇，F1雌雄果蝇相互交配得到F2的表现型如表1。

表1

请回答下列问题：F2灰身红眼雌蝇中，杂合子所占的比例为___________________________。

【答案】5/6

【分析】解题前可先判断出灰身对黑身为显性，基因位于常染色体上；红眼对白眼为显性，基因位于X 染色体上。F1雌雄个体的基因型分别为AaXRXr、AaXRY。

错解：F2灰身红眼雌蝇中杂合子所占的比例=1-F2灰身红眼雌蝇中纯合子所占的比例=1-1/16=15/16。

错因分析（如图1）：

图1

像这一类改变了范围的概率计算题，教师可以借助集合图来帮助学生理解，把所有的F2看成全集，F2灰身红眼雌蝇称为事件B，是其中的一个子集，F2灰身红眼雌蝇中的杂合子称为事件A，又是事件B 中的一个子集。题目要求事件B 中事件A 的概率，而不是F2中事件A 的概率。

所以错解解法求的是F2中除灰身红眼雌蝇纯合子外其他所有个体所占的比例，包括所有雄蝇、黑身红眼雌蝇、灰身红眼雌蝇杂合子。

正解：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率为P（A|B）=P（AB）/P（B）。

F2中，灰身红眼雌蝇的概率P（B）=3/4×1/2=3/8；

F2中，灰身红眼雌蝇纯合子的概率P（AB）=1/4×1/4=1/16；

F2灰身红眼雌蝇中，纯合子所占的比例为P（A|B）=P（AB）/P（B）=1/6；

F2灰身红眼雌蝇中，杂合子所占的比例为1-1/6=5/6。

4.独立事件、互斥事件

相互独立事件是指发生互不影响的两个事件，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件。

加法原理又称分类计数原理，如果做一件事有n 类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法……那么完成这件事的方法共有m1+m2+……mn种。每一种方法都是互斥的才能用加法原理。

乘法原理又称分步计数原理，做一件事要分成n 个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法……那么完成这件事的方法共有m1×m2×……mn种。乘法原理中每一步都不能独立完成任务，各步都不可缺少，且每一种方法都是独立的才能用乘法原理。

很多学生在运用加法原理和乘法原理时不能正确分析两个事件的关系导致计算错误。现列举示例加以说明。

误区一：认为两对基因自由组合的问题中才涉及独立事件和互斥事件

【例3】果蝇的红眼与白眼（设基因为R/r）是一对相对性状。雌果蝇XRXr与雄果蝇XrY 杂交得F1，F1雌雄个体随机交配得F2，请分析F2中的表现型及比例。

【答案】红眼雌蝇∶白眼雌蝇∶红眼雄蝇∶白眼雄蝇=5∶3∶2∶6

【分析】

错解：F1雌配子中有1/8XR，3/8Xr，雄配子中有1/8XR，1/8Xr，1/4Y，雌雄配子随机结合，所以F2中有5/64 红眼雌蝇，3/64 白眼雌蝇，1/32 红眼雄蝇，3/32 白眼雄蝇。

错因分析：F1中基因型为XRXr、XrXr、XRY、XrY是互斥事件，所以各占1/4，但在F1随机交配得到F2过程中，母本的基因型和父本的基因型是独立事件，虽然得到的结果也是红眼雌蝇∶白眼雌蝇∶红眼雄蝇∶白眼雄蝇=5∶3∶2∶6，但分析计算的过程是错误的。

F1雌配子中有1/4XR，3/4Xr，雄配子中有1/4XR，1/4Xr，1/2Y，雌雄配子随机结合，所以F2中有5/16 红眼雌蝇，3/16 白眼雌蝇，1/8 红眼雄蝇，3/8 白眼雄蝇。

误区二：认为两个事件的关系不是互斥事件就是独立事件

【例4】已知A/a、B/b、C/c 三对等位基因分别在常染色体、仅在X 染色体，XY 染色体同源区段上，求基因型的种类。

【答案】54 种

【分析】错解：一对基因在常染色体上有3 种基因型，仅在X 染色体上有5 种，XY 染色体同源区段有7 种，所以一共有3×5×7=105 种。

正解：Aa 在常染色体上，与另外两对基因是独立事件，但B/b、C/c 这两对基因都在性染色体上，它们之间既不是互斥事件，也不是独立事件。若为雌性，则有3×（3×3+1）=30 种，其中，有两种组合类型。若为雄性，则有3×（2×4）=24 种。一共有30+24=54 种。

5.运用逻辑思想理解基本概念

【例5】（2018 年，全国卷Ⅲ，第31 题节选）某小组利用某二倍体自花传粉植物进行两组杂交实验。杂交涉及的四对相对性状分别是：红果（红）与黄果（黄）、子房二室（二）与多室（多）、圆形果（圆）与长形果（长）、单一花序（单）与复状花序（复）。实验数据如表2。

表2

回答下列问题：

（1）控制乙组两对相对性状的基因位于______________（填“一对”或“两对”）同源染色体上，依据是__________________________________。

【答案】一对 F2中每对相对性状表现型的分离比都符合3∶1，而两对相对性状表现型的分离比不符合9∶3∶3∶1

【分析】错解：一对 F2分离比不符合9∶3∶3∶1

控制两对相对性状的基因位于一对同源染色体上包含两个子命题，第一个是每一对基因都在一对同源染色体上，都遵循基因的分离定律，第二个是两对基因在同一对同源染色体上。

在不考虑基因互作、致死等特殊情况下，双杂合子自交子代不出现9∶3∶3∶1 的性状分离比是两对基因不遵循基因的自由组合定律的充要条件，但是只是两对基因在一对同源染色体上的必要不充分条件。还需要先证明每对基因都在一对同源染色体上，充要条件为杂合子自交，每对相对性状的分离比都符合3∶1。

利用逻辑思想，还可有助于理解种群进化、物种形成、等位基因、同源染色体、纯合子、杂合子等概念。如种群基因频率改变是种群进化的充要条件，隔离是物种形成的充要条件，但是地理隔离是物种形成的既不充分也不必要条件。

6.基本不等式

【例6】判断：在一个遗传平衡种群中，有AA、Aa、aa 三种基因型的个体，其中Aa 基因型频率可能大于1/2 （ ）

【答案】×

【分析】对一个遗传平衡种群，设A 基因频率P（A）=p，a 基因频率P（a）=q，则AA 基因型频率P（AA）=p2，aa 基因型频率P（aa）=q2。根据基本不等式，p2+q2≥2pq，当且仅当p=q=1/2 时等式成立，所以Aa 基因型频率P（Aa）=2pq ≤1/2。

7.极限思想

【例7】（2014 年，全国卷Ⅰ，第5 题）如图2 为某种单基因常染色体隐性遗传病的系谱图（深色代表的个体是该遗传病患者，其余为表现型正常个体）。近亲结婚时该遗传病发病率较高，假定图2 中第Ⅳ代的两个个体婚配生出一个患该遗传病子代的概率是1/48，那么，得出此概率值需要的限定条件是 （ ）

图2

A.Ⅰ2和Ⅰ4必须是纯合子

B.Ⅱ1、Ⅲ1和Ⅲ4必须是纯合子

C.Ⅱ2、Ⅱ3、Ⅲ2和Ⅲ3必须是杂合子

D.Ⅱ4、Ⅱ5、Ⅳ1和Ⅳ2必须是杂合子

【答案】B

【分析】本题可以用极限的方法顺向推导从而快速得出正确答案。

已知Ⅱ2为Aa，当Ⅱ1为AA 时，Ⅲ2为Aa 的概率为1/2；当Ⅱ1为Aa 时，Ⅲ2为Aa 的概率为2/3，所以Ⅲ2为Aa 的概率≥1/2，当Ⅱ1为AA 时取最小值。

同理，Ⅳ1为Aa 的概率≥1/4，当Ⅱ1和Ⅲ1均为AA 时取最小值。

Ⅳ2为Aa 的概率≥1/3，当Ⅲ4为AA 时取最小值。

Ⅳ1与Ⅳ2婚配生下aa 的概率≥1/4×1/3×1/4，当Ⅱ1、Ⅲ1和Ⅲ4都是纯合子时取最小值1/48。

综上所述，高中生物作为一门综合性的学科，其中渗透了大量的数学知识。将两大学科相结合，是一种高层次的思维能力。高中生物教师在教学中善于运用数学知识，不仅可以优化教学，还可以给学生起到跨学科思维的良性示范作用，这对帮助学生深入理解生物学基本概念和原理、提高创造力大有益处。