扭簧的扭转刚度计算及试验研究

汤心仪，刘涛，黄模佳

(南昌大学工程力学系，江西 南昌 330031)

扭转弹簧(简称扭簧)是一种利用弹性能来工作的机械零件，它通过储存和释放弹性能，以静态的方式固定装置，以达到预期的效果。扭转弹簧主要用于控制机件的运动、缓和冲击或震动、储存能量、测量力的大小等方面，近年来，随着人类对使用工具智能化与科技化要求的提高，扭转弹簧已经广泛应用于日常生活当中，从而使得对扭转弹簧力学特性的研究工作显得格外重要。目前，国内对扭转弹簧的研究大多集中在加工工艺、材料性能的稳定性、疲劳性能、可靠性以及选用新材料使其具有更好的可靠性和寿命上[1-4]，国外对于扭转弹簧的研究大多集中在有特殊用途扭转弹簧的研究，譬如利用扭转弹簧代替环形车轮实现简单的行星牵引驱动[5]，以及对扭转弹簧能量储存性能的研究[6]，其特点在于研究方法和试验工具都比较先进。国内外关注扭簧配合阻尼系统对整体结构的性能影响[7-8]、关注利用有限元对扭簧的数值仿真[9-11]。

基于上述背景，为了深入研究扭簧的扭转刚度，本文以扭簧为研究对象，建立了扭转弹簧的力学分析模型，根据曲梁的弯曲理论，推导出扭簧刚度计算表达式，该表达式考虑了钢丝直径与扭簧回转直径之比的效应。本文开展了扭簧刚度的测量试验和有限元数值仿真。研究结果表明：实测结果、数值计算与计算表达式的结果高度吻合，验证了本文推导的扭簧刚度计算表达式的可靠性，为扭转弹簧的力学特性的研究提供了新方法。

1 考虑扭簧钢丝直径与扭簧回转直径之比效应的扭簧刚度计算式

1.1 扭簧钢丝微段的弯曲应变

扭转弹簧的几何形状为螺旋状，扭簧扭转时，弹簧钢丝微段发生弯曲变形。在图1扭簧钢丝上取一微弧段ds，O1O2为扭簧扭转时钢丝的弯曲中性层(其弧长为ds)，变形前中心到中性层的曲率半径为ρ1，ds对应的圆弧角为dθ1；变形后中心到中性层的曲率半径成为ρ2，ds对应的圆弧角成为dθ2；满足

ds=ρ1dθ1=ρ2dθ2

(1)

根据图1的几何关系和式(1)，可得横截面上距中性层为y处的线应变

(2)

其结果可简化为

(3)

1.2 扭簧扭转刚度计算表达式

影响扭簧扭转刚度的因素主要包括扭簧钢丝展开长度L、有效圈数n、扭簧回转直径D，它们间存在关系

L=nπD

(4)

这里n不要求是整数。假设一扭簧的扭转角度为φ，扭簧初始有效圈数n1与扭转后有效圈数n2之间存在的关系为

(5)

扭转过程的扭簧展开长度L不变，扭簧初始直径为D1，扭簧扭转φ角后，扭簧直径变为D2，由式(4)的关系，得

(6)

扭簧宏观承受的扭矩T为扭簧钢丝局部承受的弯矩M；即

T=M

(7)

钢丝横截面正应力对截面中性轴形成的弯矩由以下积分获得

(8)

(9)

利用式(6)，并在钢丝横截面上采用极坐标积分，式(9)成为

(10)

(11)

对于一给定的钢丝直径与扭簧回转直径之比κ，可以通过数值积分完成以上积分，获得F(κi)如图2所示。图中横坐标为κ，纵坐标为F(κi)。

表1 函数F(κ)数值表(节选)Tab.1 Function value table (excerpt)

以上数据的最小二乘法拟合函数为

F(κ)=1.335 86×10-4+0.046 29κ+0.017 97κ2

(12)

从图2可以看出，式(12)的函数F(κ)可以很好地拟合式(11)中的数值积分结果。

将式(12)代入式(10)，得扭簧的扭矩与扭转角间的计算表达式，单位为N·m·rad-1。

(13)

2 扭簧扭转刚度的试验测量

扭转试验是测定材料性能的基本方法之一，为了验证上述理论表达式的正确性，采用试验测定扭转弹簧试样的扭转刚度。选取了6组不同参数的碳素弹簧钢丝材质的外壁扭转弹簧，每组2个试件(见图3)，通过微机控制电子扭转试验机进行扭转刚度的试验测量。试验试件为碳素弹簧钢丝材料的外壁扭转弹簧，扭簧试件的相关参数如表2所示。试验时，利用插销式夹具进行装夹操作(见图3)，试验机对应电子控制软件Powertest进行试验进程的程序控制。扭角速度控制为20°·min-1，每次过程以扭转角度到达25°为控制终止，维持试样在整个扭转试验过程中处于扭转变形过程中的弹性阶段。具体的工作原理为，电子扭转试验机基座上有一个电动的减速装置，该装置可由系统控制其运作速度及转动正负方向。其中作用试样的扭转力矩通过固定夹头相连的称重机构平衡，带动荷载指针转动记录出实验的具体数值。在“装夹试件”步骤完成后，系统控制转动时将带动所夹试件的一端进行转动，使试件整体发生扭转变形。

表2 采用扭簧试件的相关参数Tab.2 Relevant parameters of torsion spring specimen

扭转试验完成后，在软件Powertest后台中提取试验数据，试验过程中同一试件代称名字下有2个试件，2个试件分别进行5次扭转测试，从而每个试件代称共有10组试验数据。根据事前实验控制程序中以扭转角度度数的实验终止，试样将保持在扭转变形中的弹性变形阶段，此时满足：

T=Kφ

(14)

将扭矩作为纵坐标，扭转角为横坐标，进行试验数据处理。在处理后，可得到每次扭转试验的扭矩-扭转角散点图(见图4)。利用Origin软件对试验散点图进行线性拟合，拟合直线的斜率即为试验测量所得的扭转刚度取值，最后取10组试验数据的平均值作为该试件代称的扭转刚度取值。表4中给出了本次试验6组试件的扭转刚度测量取值。

3 扭簧扭转刚度的有限元分析

为了进一步验证本文理论分析式的合理性，利用有限元Abaqus CAE进行了扭转弹簧的数值计算工作。首先用SolidWorks三维软件绘出几何模型，然后将模型导入Abaqus CAE中，见图5。定义碳素弹簧钢丝材料并赋予表3中的模型材料属性，利用梁单元拟合扭簧模型。将扭簧一端创建完全固定的边界条件，扭簧另一端施加位移荷载，本步骤根据圆柱坐标下UR3设定与试验过程中相同的位移量进行有限元的力与位移设定。同时在“Mesh”网格模块下，通过曲率控制的方法使最大偏离因子尽可能接近于0，以至每微分圆弧上的近似单元数尽可能大，提高有限元拟合计算的精度。

表3 扭簧试件的材料参数Tab.3 Material parameters of torsion spring specimen

重复上述操作，仅改变赋予截面步骤中截面半径尺寸步骤，共建立6个与试验扭簧试件一致的有限元模型。最后在后台可视化中提取对应的弯矩“RM”值，再利用软件后台输出等比例除去扭转角度φ值的扭转刚度K。表4给出了本次数值模拟的6组试件的扭转刚度有限元计算结果。

4 试验测量和数值计算与理论求解结果的对比和分析

将本文给出的理论表达式计算结果与试验测量结果和有限元计算结果进行对比，对比结果如表4所示。

表4 同一试件代称下的扭转刚度理论分析式解、试验解、有限元解对比Table 4 Comparison of theoretical analytical solutions,experimental solutions and finite element solutionsof torsional stiffness for the same specimen 单位：N·m·rad-1

由表4对比结果表明，理论计算、试验测量和有限元计算结果能够高度吻合，从而验证了本文提出的扭簧扭转刚度理论表达式的正确性。从2.3×16×5、2.3×20×5、2.3×24×5 3组数据的对比结果可以看出，当扭簧材料直径、有效圈数相同时，扭簧扭转刚度与扭簧中径成反比；对比试验2.3×20×5、2.3×20×7结果可以看出，当扭簧材料直径、扭簧中径相同时，扭簧扭转刚度与有效圈数成反比；对比试验2.0×16×5、2.3×16×5结果可以看出，当有效圈数、扭簧中径相同时，扭簧扭转刚度与扭簧材料直径成正比。

5 结论

1) 建立了扭转弹簧微段的力学分析模型，给出了扭簧微段截面内任意一点的应变表达式，给出了考虑扭簧材料直径的扭转刚度理论计算精确表达式，给出了扭簧扭转刚度求解的近似表达式。

2) 进行了扭簧扭转刚度的测量试验，实测获得了6组试样的扭转刚度取值；进行了扭转弹簧的有限元数值模拟工作，数值计算获得了6组试样的扭转刚度取值。

3) 将理论计算结果、实测结果和有限元结果进行了对比，三者结果高度吻合，验证了本文给出的扭簧扭转刚度理论表达式的可靠性，为扭转弹簧的力学特性研究提供了完善的理论依据，同时为今后扭簧扭转刚度的高精度求解提供了可靠的理论保障。