连续消费者假设下的一个二阶段定价问题

刘博 赵莹

摘 要：本模型是一个在消费者偏好为连续的情况下，机构通过二阶段定价，来招揽更多消费者，并提高自己总收入的模型。结论是：虽然尽早结束打折且几乎没有折扣能达到最大利润，但机构会顾及名誉而不这样做。选择适当的折扣和折中的时间依旧可以取得比无折扣更多的利润。

关键词：连续消费;二阶段定价;构造模型

一、 提出问题

笔者发现考试机构报名费政策安排类似一个二阶段定价问题，即：在某一时间点之前缴纳报名费，会享受一定的折扣。这样的折扣应当会吸引一大部分价格敏感型的考生进行报名，只要新增的报名人数足够多，机构便可以获得更多的利润，但需要安排才可以获得最大的利润。

二、 构造模型

设某考试机构在t=（0，1）的连续时间内征收报名费P，并在1时刻举行考试。这个考试机构准备在时间t之前按照折扣a（a≤1）征收报名费aP，他们首先要确认折扣政策相比单一定价更为有利可图，其次准备通过求出最优的a和t来达到利润最大化。

报考考试的考生对金钱有着不同的时间偏好，具体形式可写成eKitM，其中Ki∈（0，1）且为均匀分布。它可以看作考生对金钱的重视程度：Ki越大，表示越愿意晚缴纳报名费。

考试机构也可以用收到的报名费进行投资，回报为连续复利的形式，即estM。其中s>1，即所有考生个人投资的回报都不会超过机构投资的回报。

为表示出不征折扣之前和征收折扣之后的考生数量变化，应当构造一个需求曲线，为求简单，仅假设一些关键点。

首先，当没有折扣政策时，第K1个考生发现花Pe-K1×1的报名费和不花钱对他的效用是一样的。则所有小于K1的人都会选择报名，所有大于K1的人都不会报名;同理，当有折扣时，也是小于K2的人都会选择报名，所有大于K2的人都不会报名。

接下来求出有折扣政策时，有多少考生选择提前缴费。对于时间一个偏好为Ki的考生，当Pe-Ki×1≥aPe-Ki×t0时，他会选择提前缴费。由此解得：Ki≥logat-1，設为K0。我们的需求函数有0

三、 求解模型

机构未实行打折政策时，1时刻收入为K1P（1）;实行打折政策后，1时刻总收入为：K0P+es（1-t）（K2-K0）aP（2）。

经计算，在a→1，t→0时，（1）<（2）一定有解，即实行打折政策会有更多收入。接下来求解最大值。对收入方程（2）右式中的a和t0求导，得到的一阶条件为：Rt=-loga（t-1）2+aes（1-t）loga（t-1）2-（K2-logat-1）=0（3）和Ra=1a（t-1）+es（1-t）K2-logat-1-1（t-1）=0（4）。它没有解析解。

但因为函数（3）和（4）都连续，则可以代入一些极值点。具体来说，针对（3）式令t→0，则R′t→-loga+aes（2loga-K2）（5）;再令t→1，则R′t→aes（2loga）-K2（6）。当a→0时，（5）和（6）符号相反，所以当a趋近于0时，最优的t一定在（0，1）之间。当a→1时，（5）和（6）均为负，意为当a趋近于1时，t=0时利润才会取得最大值。

再针对（4）式，先令a→0，则R′a→∞，再令a→1，则R′a→1（t-1）+es（1-t）K2-1（t-1）（7）经计算，当t=1时（7）式为0。而且当t=0时，（7）式>0，这证明a在（0，1）区间的导数均为正，那么a无限趋近1才可以使得利润达到最大。这刚好与分析（3）式时的a→1假设相吻合。

于是，模型的解为：a=1，t=0，即在0时刻征收一个无限接近于原价的报名费，才是最有利可图的。但这样的收费政策会让考生觉得这个机构过于吝啬、唯利是图，所以还是适当加大折扣才能让考生们容易接受。

作者简介：

刘博，赵莹，中央财经大学中国经济与管理研究院。