二维调制耦合系统的动力学分析

余文慧，高仕龙

(乐山师范学院数学与信息科学学院，四川 乐山 614000)

0 引 言

混沌是由确定性系统产生的一种貌似随机的运动，具有不可预测性、遍历性及初值敏感性等特性。研究发现，混沌系统的运动轨迹全局是稳定的，局部是不稳定的，对混沌系统使用精度有限的工具进行仿真可能会出现闭合状态重叠的情况，这意味着在实际应用中需要一个在相平面区域分布较宽的动力系统[1]。使用在相平面区域分布较宽的高维混沌系统对数据进行加密或保密通信时具有更好的安全性[2]。本文提出一个新的二维调制耦合系统(2D Modulation Coupled Logistic Map，2D-MCLM)，系统具有2个控制参数，扩展了参数空间和混沌序列的密钥空间，产生的伪随机序列的随机性良好，在参数变化空间内产生的混沌区域较其他调制系统更广。

1 二维调制耦合Logistic映射

传统Logistic映射[3]是研究混沌等复杂系统行为的经典模型，其数学表达式为：

xn+1=μxn(1-xn)

(1)

式中，μ为控制参数，n为迭代次数。由文献[3]可知，传统Logistic映射在μ∈[3.5,4.0]时呈现比较好的混沌特性。

较传统的Logistic映射而言，指数Logistic映射[4]的混沌特性更加丰富，其数学表达式为：

xn+1=γxne-(xn-b)2

(2)

式中，γ为控制参数，b为常数。当b=0.1时，使用MATLAB进行数值模拟得到，当γ∈[3.1,6.0]和γ∈[-4.3,-2.8]时，映射进入混沌状态。

本文提出2D-MCLM是基于传统Logistic映射和指数Logistic映射相互调制耦合形成的，其数学表达式为：

(3)

式中，α，β为控制参数，n表示迭代次数。由系统(3)可以看出，与传统Logistic映射和指数Logistic映射相比，2D-MCLM具有更加复杂的结构。首先，每次迭代过程中，xn和yn相互关联，相互扰动，使得系统输出序列更加难以预测，提高了系统的混沌性能；其次，在原映射表达式的基础上增加了2个参数α和β，限制了混沌系统的输出，增强了系统的非线性和随机性。

本文通过相图、频数检验、平衡度和分岔图实验，对2D-MCLM，2D-Logistic映射[5]和二维正弦Logistic调制映射(2D Sine Logistic Modulation Map，2D-SLMM)[6]的混沌性能进行分析。主要研究3种系统的遍历性、随机性和混沌区域大小。2D-Logistic映射和2D-SLMM的数学表达式分别为：

(4)

(5)

1.1 相图分析

通过系统混沌特性最优时的相图可直观地观察系统的遍历性。对3个系统的相图轨迹进行比较，初始值均为(x0,y0)=(0.40,0.50)，2D-MCLM参数取值为α=-0.990，β=4.000，2D-Logistic映射参数取值为r=1.19，2D-SLMM参数取值为α=1.00，β=3.00。数值模拟所选取的参数值均是为了确保系统能够具有良好的混沌特性，实验结果如图1所示。从图1中可以看出，3种系统其轨迹分布区域均为[0,1]×[0,1]，2D-MCLM的运动轨迹在相平面上的分布范围明显比其他2个系统要广，说明2D-MCLM具有更好的遍历性。

图1 不同系统混沌性能最优时的相图

1.2 频数检验和平衡度分析

首先将系统生成的混沌序列{x1,x2,x3,…,xn}转换为二值序列，然后对相应的二值数列的随机性和平衡度作进一步比较分析。系统对应的二值序列{m1,m2,m3,…,mn}的取值如下：

(6)

式中，i=1,2,…,n。

1.3 分岔图分析

混沌系统的分岔图可以直观表现混沌出现的相关信息。取2D-MCLM中参数β=4.000，2D-SLMM中参数α=1.000，对3个混沌系统进行数值模拟，结果如图2所示。从图2可以看出，当α∈(-5.930,-3.497)∪(-1.881,0.000)时，2D-MCLM出现混沌现象；当r∈(1.000,1.100)∪(1.130,1.150)时，2D-Logistic映射出现混沌现象；当β∈(2.743,2.967)∪(2.986,3.000)时，2D-SLMM出现混沌现象。所以，2D-MCLM较其他2种映射具有更好的混沌性能、更广的混沌区域和参数范围。

表1 3种系统的频数检验和平衡度分析结果

图2 不同系统在参数空间内的分岔图

2 数值实验与分析

2D-MCLM的动力学行为是由参数α和β决定的。分别采用分岔图、相图和Lyapunov指数图来研究2D-MCLM的混沌动力学特征。选取初始点为(x0,y0)=(0.40,0.50)，β=4.000。

2.1 相图和分岔图分析

参数α在区间[-10.000,0.000]上变化时，2D-MCLM的分岔图变化过程如图3所示，其吸引子的演化过程如图4所示。观察图3和图4可以发现：当α∈[-10.000,-9.499]时，系统趋于一个不动点；当α∈(-9.499,-7.762]时，系统产生2周期点，这种现象称之为Hopf分岔。当α∈[-7.700,-6.141]时，2周期点失稳，新的稳定状态是围绕着原来2个不动点所形成的极限环，如图4(a)所示。当α=-6.300时，相平面又出现2个极限环，尺寸相比于图4(a)有所增大且出现了2个尖角，说明系统回到了周期运动，如图4(b)所示。当α=-5.900时，相平面对应的状态为奇怪吸引子，如图4(c)所示。随着α的增加，奇怪吸引子分开部分的尺寸增大且变形，彼此靠近，最后互相交叠逐步融合成一个整体，如图4(d)所示。与一般混沌系统不同的是，当参数α继续增加，系统的动力学行为逐渐退化。当系统进入完全混沌状态后，在α=-3.100时，分岔图又出现2个稳定不动点。图4(e)中，当α=-2.100时，系统的4个不动点失去稳定，新的稳定状态是围绕着原来4个不动点形成的2对极限环，这说明系统在α∈[-3.483,-2.358]时经历了2次倍周期分岔；当α=-1.966时，图4(f)呈现的是围绕4个极限环形成的4个方形区域，系统相平面出现奇怪吸引子，对应于混沌运动。图4(f)表明奇怪吸引子的结构不随参数连续变化，但整体结构会发生瞬变。较图4(c)，其轨道呈现为永不重复，并且性态复杂。

基于以上分析，2D-MCLM通向混沌的方式有2种。首先，通过周期行为和混沌现象交替出现的间歇突发性通向混沌，并且该间歇性与倍周期分岔和Hopf分岔有关；其次，系统进入完全混沌后，随着参数α的增加，系统由混沌状态突变为周期状态，再通过2次倍周期分岔通向混沌。系统通向混沌道路的多样性也说明其与一般的混沌映射相比，具有更加复杂的动力学行为。

图3 2D-MCLM随着参数α变化的分岔图

2.2 Lyapunov指数

图5 2D-MCLM的Lyapunov指数图

Lyapunov指数是描述混沌系统对初始值敏感依赖性的量[9]。一般来说，Lyapunov指数小于0时，经过迭代运算的系统轨道的相邻点随着时间的推移，最终靠拢合并成一点，系统对应于稳定的不动点；Lyapunov指数大于0时，相邻点经过映射的迭代运算最终分离，系统对应的轨迹产生局部不稳定性。因此，Lyapunov指数是否大于0是判断映射是否为混沌序列的一个依据。2D-MCLM随参数α变化的Lyapunov指数图如图5所示。

观察图5可知，当α∈[-7.700,-3.510]时，λ>0，系统通过Pomeau-Manneville途径通向混沌，并且在该范围内，系统分岔图中伴有大量的周期窗口；当α∈[-1.960,0]时，λ仍然大于0，系统通过2次倍周期分岔通向混沌。

3 结束语

本文基于传统Logistic映射和指数Logistic映射相互调制耦合，提出一种二维调制耦合系统，结构更加复杂，输出序列更加难以预测，提高了系统的混沌性能，增强了系统的非线性和随机性。与一般的二维混沌映射相比，系统经历了2次混沌区域，产生的混沌区域更广，参数可调谐性更强，在混沌加密应用中有着良好的发展前景。