基于指数型扩散系数的多孔材料干燥传质模型研究

张通千

中国矿业大学(北京) 机电与信息工程学院，北京 100083

多孔材料是指内部分布连通或封闭孔隙网络的材料，广泛存在于自然界中，如木材、岩石、土壤、建材、衣物、纸张等[1-2]。其中矿物类多孔材料(沸石、蒙脱土等)因内部含有直径在微米至纳米大小的孔道，使得此类材料在潮湿环境下具有一定的吸湿性。一方面，当材料接触到液态水时，液态水可经毛细作用进入多孔材料，并在毛细力作用下均匀分布于材料内部；另一方面，水分子会主动吸附在孔道表面，对孔径在纳米级的孔道而言，水分子在填满孔道的同时，于孔道内形成具有低表面水蒸气浓度的凹型液面，由于凹型液面上方蒸气压低于环境湿空气饱和蒸气压，水分子会进一步在孔道内聚集，直到凹型液面表层蒸气压与环境湿空气饱和蒸气压相等[3-4]。水分的存在会降低多孔材料的物理性能和使用寿命[5]。因此，研究多孔材料吸湿及含水多孔材料内部水分迁移机理，建立用于描述材料内水分分布及一定干燥条件下材料含水量随时间变化的数学模型，对认识水分对矿物类多孔材料的侵入机理、了解含水多孔材料内部水分扩散过程和对潮湿矿物类多孔材料制定最优干燥工艺具有重要意义[6-8]。

针对含水多孔材料传热、传质现象的数学描述始于Lewis的液态扩散理论[9]。该理论认为多孔材料孔隙内所含的液态水以扩散的形式发生迁移，扩散动力来自材料内各部分之间的含水量梯度。Luikov[10]总结了前人对建立多孔材料传热传质数学模型的诸多尝试，提出Luikov后退前沿理论模型(Receding Front Model)，指出当蒸发过程进行到材料内部时，蒸发现象只发生在材料内部液态水与空气界面上，此界面随着蒸发过程向材料内部含水量高的部分迁移，将多孔材料分为干区(只考虑水蒸气扩散迁移)和湿区(只考虑自由水扩散迁移)，在此假设基础上给出了多孔材料热质传递的能量和质量守恒公式。Philip和De Vries[11-13]在后退蒸发前沿理论的基础上考虑温度、重力以及水分子在多孔材料孔道表面的吸附与解吸对水分扩散带来的影响，建立了Philip-De Vries干燥模型。与Philip-De Vries干燥模型相类似，Luikov[10，14-15]提出了唯象理论模型，指出多孔材料内部水分迁移的动力由含湿量梯度、温度梯度、水分压力梯度3部分构成，并建立了描述这一理论的偏微分方程组。Whitaker[16]在1970—1980年基于将多孔材料表征单元体内部固、液、气三相温度与密度平均化的假设，提出体积平均理论模型，该模型将水分的迁移动力分为四类：自由水由孔道毛细作用驱动、湿空气由含湿量梯度驱动、液态水的蒸发由热对流驱动、液态水温度变化由温度梯度驱动。平均理论模型的优势在于其包含了多孔材料干燥过程中几乎全部的物理现象，能够较真实地反映含水多孔材料热质传递的过程。目前Luikov唯象模型和Whitaker平均体积理论模型已应用于建材干燥和粮食干燥过程的仿真领域[17-20]，但模型中存在大量随温度或含水量不同而变化的传热传质系数，精确测量这些系数难度较大，因而限制了这2种模型的推广和使用。

本文以Lewis-Scherwood固体材料干燥模型[9，21]为基础模型，用指数形式取代原模型中常数形式的液态水扩散系数，用最小二乘法拟合的动态液态水汽化潜热值取代原模型常数形式的液态水汽化潜热值，基于材料内部热量和湿度只发生一维方向上传递的假设，建立用于计算多孔材料在表面空气对流干燥条件下材料内部含水量变化情况的一维扩散模型；然后，分别将模型改良前和改良后的计算结果与含水多孔材料试样干燥实验结果进行比较，确定模型改良前后的合理性和精确性；最后，利用不同含水多孔材料试样干燥实验结果与改良后模型仿真计算结果进行对比，计算模型仿真误差，验证模型的实用性。

1 一维扩散模型控制方程组

1.1 模型假设及控制方程组的建立

多孔材料传热传质一维扩散模型所基于的假设及边界条件见表1。

表1 一维扩散模型假设和边界条件Tab.1 Hypotheses and boundary conditions of 1-D diffusive model

一维扩散模型的控制方程组包含多孔材料试样表征单元体液态水质量守恒偏微分方程、多孔材料表征单元体温度偏微分方程以及表面蒸发率方程3部分。由于多孔材料表面液态水蒸发引起材料内部液态水饱和度不均匀，从而导致内部液态水扩散。基于Lewis-Scherwood干燥模型，液态水质量守恒方程可表示为

(1)

式中，φ为多孔材料孔隙率，%；ρl为液态水密度，kg/m3；Sl为液态水饱和度，%；Dls为液态水扩散系数，m2/s；z为表征单元体高度，m；t为时间，s。

式(1)等号左边为单位体积液态水在单位时间内质量的变化；等号右边为以扩散形式通过多孔材料单位体积边界传入的液态水质量。

根据表1中模型假设(4)，多孔材料单位体积固、液、气三相的瞬时温度相同。单位体积导热系数及热焓值为固、液、气三相体积分数的加权平均表示为

Ts=Tl=Tg

(2)

λ=(1-φ)λs+φSlλl+φ(1-Sl)λg

(3)

ρc=(1-φ)ρscs+φSlρlcl+
φ(1-Sl)[(ρaca+ρvcv)]

(4)

式中，T为温度，K；λ为导热系数，W/(m·K)；c为定压比热容，J/(kg·K)；下标s、l、g、a、v分别为固相、液相、湿空气、干空气及水蒸气。

根据式(2)至式(4)，得到基于Lewis-Scherwood干燥模型的多孔材料单位体积能量守恒控制方程为

(5)

式(5)等号左边为含水多孔材料单位体积在单位时间内热量的增加；等号右边为单位时间内，以导热方式进入多孔材料单位体积边界的能量与以液态水扩散方式进入单位体积边界的能量之和。该式既是一维扩散模型的能量守恒方程，也是多孔材料表征单元体温度的控制方程。

根据Lewis-Scherwood干燥理论，描述多孔材料表面液态水蒸发的控制方程为

(6)

(7)

式中，ms为表面蒸发量，kg；hm为对流表面传质系数，kg/m·s；ρve为环境水蒸气密度，kg/m3；Slc为材料表面液态水临界饱和度，%。

微分方程边界条件：

(8)

(9)

(10)

(11)

Sl=Sl0

(12)

T=T0

(13)

将式(1)、式(5)至式(13)联立，得到传统Lewis-Scherwood干燥模型的一维形式。

上述模型偏微分方程组中，式(1)、式(5)、式(9)、式(11)涉及多孔材料液态水扩散系数Dls以及水的汽化潜热值γ。在使用传统模型时，需根据资料获得该材料液态水扩散系数平均值以及特定温度范围内的汽化潜热平均值，再将其代入方程组进行运算。实际上，含水多孔材料液态水扩散系数和汽化潜热值分别是含水量及温度的函数。为使模型具有更高精度，对Lewis-Scherwood干燥模型进行以下修正。

(1) 采用基于大量实验结果的指数型动态多孔材料液态水扩散系数计算公式[22]和基于液态水物理性质的二次多项式拟合动态汽化潜热值，代替式(1)、式(5)、式(9)、式(11)中的常数型扩散系数和汽化潜热平均值：

(14)

γ=0.086T2-2.42×103T+3.16×106

(15)

式中，w为含水量，kg/m3；A为材料的吸水率，kg/(m2·h1/2)；wf为材料的饱和含水量，kg/m3。

综上建立改良后的多孔材料表面对流干燥一维扩散热质传递模型，含式(1)、式(5)至式(15)共12个偏微分方程及代数方程。

(2) 采用有限差分法将式(1)、式(5)至式(12)离散化，得到模型的迭代代数方程组。其中，多孔材料内部表征单元体的质量守恒、能量守恒、质扩散系数以及汽化潜热计算公式的迭代代数方程为

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中，上角标n为第n个时刻；下角标j为第j个单元体；j-1，j和j+1，j分别为从第j-1到第j个单元以及从j+1到第j个单元对应物理量的值。

计算时采用边界左右单元体对应物理量的加权平均，λj-1，j和λj+1，j计算方法同式(22)和式(23)。

使用Matlab软件对上述代数方程进行编译，得到含水多孔材料含水量随时间变化情况的仿真程序。

1.2 多孔试样的选择与参数

为验证改良模型的精度，以含水粉煤灰多孔砖、含水黏土烧结多孔砖作为多孔材料试样。选用其作为实验对象的理由：首先，黏土烧结砖、粉煤灰砖由多种矿物成分混合制成，黏土烧结砖主要成分为二氧化硅、少量页岩和煤矸石粉料；粉煤灰砖主要成分为三氧化二铝、氧化钙、二氧化硅等无机氧化物粉体，其成分特征具有矿物类多孔材料的特征；其次，黏土烧结砖、粉煤灰砖等多孔砖属于人工制备多孔材料，与沸石、蒙脱土、多孔碳等天然矿物类多孔材料相比，其内部孔道分布和各成分密度分布更为均匀、孔径大小更为一致，适合进行干燥传质数学建模和热质传递现象的仿真及实验研究。

本文选取2种粉煤灰烧结多孔砖，1种黏土烧结砖，将试样加工成5 cm×5 cm×1.69 cm(长×宽×高)的长方体。在进行含水量计算时将试样分割为20个单元体，即式(16)至式(23)中j的取值为1至20。多孔材料试样的孔隙率、密度、吸水率和饱和含水量根据《建筑材料和产品温湿吸收性EN ISO 15148/A1—2016》标准所提供方法测得，试样的导热系数、比热容参照《公共建筑节能设计标准规范DGJ32/J 96—2010》。试样全部参数见表2。

表2 多孔材料试样热质传递参数

2 含水多孔材料表面对流干燥实验

2.1 实验设备与试样预处理

为验证含水多孔材料含水量模型计算值与实验值之间误差，需对3种含水多孔试样依次在恒温恒湿干燥箱内做对流干燥实验。对流干燥实验所采用的设备见表3。图1为恒温恒湿干燥箱实物照片。通过恒温恒湿控制器面板预设干燥箱内需要的温度和湿度，温度和湿度传感器探头实时监测箱内温度和湿度变化。恒温恒湿干燥箱内置热风风扇，对试样进行恒定风速的对流干燥；恒温恒湿干燥箱内部载物台上放置绝热绝质处理后的多孔材料试样，其试样除上表面与空气接触外，其他表面均使用硅酮胶做隔热、隔水处理，防止试样与周围环境进行热量和质量交换。根据表1中的边界条件2，经隔热、隔水处理后的多孔材料试样，在进行干燥实验时可近似认为材料内部热湿传递只发生在一维方向，即沿试样的高度方向。

表3 干燥实验设备

图1 恒温恒湿干燥箱及多孔试样预处理Fig.1 Drying instrument and sample pretreatment

2.2 含水多孔材料表面对流干燥实验过程

按照表2给出的初始含水量将对应质量的水滴加到多孔材料试样的表面，随后将试样在20 ℃下恒温静置30 min，使材料内部液态水在多孔材料孔道毛细作用下均匀分布于试样中。将恒温恒湿控制器面板的温度设置为35 ℃，并打开加热片开关对箱内空气进行加热。打开恒温恒湿干燥箱内的热风风扇，使用风速仪测定干燥用热风风速为3 m/s。关闭干燥箱顶盖，待箱内温度稳定，记录该时刻干燥箱内温湿度值；将含水多孔试样未做隔热隔水处理的表面向上，记录含水多孔材料试样的初始重量；然后将其放入干燥箱内进行表面对流干燥，每隔4 min将试样取出称重并记录，称重过程所需时间不得大于30 s。整个干燥实验持续120 min。依上述步骤，分别对含水粉煤灰烧结多孔砖试样和黏土烧结多孔砖试样进行干燥实验。

将干燥实验进行时的箱中温度、湿度和干燥用热风风速值以及表2多孔材料试样热质传递参数代入一维扩散模型仿真程序并运行，得到与干燥实验同等条件下试样含水量变化计算值，通过与实验值的比较，考察模型计算的准确度。

3 实验结果及分析

对比3种含水多孔材料试样在干燥实验下试样质量的测量值、传统Lewis-Scherwood干燥模型试样质量的计算值和一维扩散模型试样质量的计算值，结果如图2所示。由于试样净重为常量，因此图2为不同试样的含水量变化曲线。由 2种模型计算含水量变化曲线与实验值采样点的偏离程度可见，一维扩散模型含水量计算值与实验值较接近，传统模型计算结果在干燥时间为1 h后，开始逐渐偏离实验值。3种多孔材料试样经传统干燥模型计算所得的含水量随时间呈线性递减的趋势，这是由于传统模型中采用常数型液态水扩散系数，导致计算结果显示为整个干燥过程中材料内部液态水发生等量扩散。从干燥实验值的结果可见，多孔材料试样液态水含量的递减随时间呈减缓趋势，即单位时间多孔材料试样含水量的下降速率随材料本身含水量的下降而变缓。这说明实际干燥情况下，多孔材料含水量越低，材料内部的液态水扩散系数越小，含水量下降速度越慢。因此，使用动态指数型扩散系数一维扩散模型的计算结果在干燥1 h后仍可以较好地与实验值相匹配，即动态指数型扩散系数的使用较好地反映出真实情况下多孔材料内部液态水扩散规律。

为表征模型计算值与实验值误差大小，采用绝对误差值之和、最大绝对误差和最大相对误差值作为指标，其计算公式为

(24)

(25)

(26)

式中，Uex、Uca为含水多孔材料试样某时刻的实验质量、计算质量，kg；Wwater为对应每种多孔材料试样初始含水率的多孔材料试样初始含水质量，kg；n为总采样时间点的个数。

图2 多孔材料试样含水量的干燥实验值与模型计算值Fig.2 Experimental values and simulated values of water content by convective drying in porous materials samples

将Lewis-Scherwood干燥模型和一维扩散模型分别命名为传统模型和改良模型，按照式(16)至式(18)，分别求得3种多孔材料试样含水量变化的传统模型计算值、一维扩散模型计算值与实验值误差，结果见表4。由表4可见，传统Lewis-Scherwood干燥模型的绝对误差值和最大绝对误差值约为一维扩散模型的绝对误差值和最大绝对误差值的2～3倍；传统Lewis-Scherwood干燥模型最大相对误差约为一维扩散模型最大相对误差的2～3倍。针对3种多孔材料试样，采用一维扩散模型计算的含水量随时间变化的计算值与实验值的平均最大相对误差为4.6%，采用常数型液态水扩散系数和液态水汽化潜热进行计算的传统模型，平均最大相对误差值为12.4%。误差计算的结果说明，一维扩散模型精度较高，且能较好地描述多孔材料含水量随时间的非线性变化，即含水量下降速度随含水量本身的减少而降低。

表4 模型计算值与干燥实验值误差

4 结 论

(1) 与Lewis-Scherwood干燥模型相比，改良后的一维扩散热质传递模型得出的计算值与干燥实验值吻合较好。由于使用了指数型变化的水扩散系数，一维扩散模型能较明显地体现多孔材料液态水扩散量随材料本身含水量减少而降低，导致材料含水量下降速率随干燥时间的延长而减少的现象。与此相比，Lewis-Scherwood干燥模型的计算结果体现出多孔材料含水量随时间线性下降的关系，但随干燥时间的延长，Lewis-Scherwood干燥模型计算结果与实验结果偏离程度逐渐变大。

(2) 使用Lewis-Scherwood干燥模型对含水多孔材料试样干燥实验进行仿真计算后所得最大相对误差为12.4%，而一维扩散模型的最大相对误差为4.6%。一维扩散模型与Lewis-Scherwood模型相比，在计算含水多孔材料表面对流干燥条件下材料内部含水量变化情况时具有更高的精确度，为预测矿物类多孔材料内部液态水含量、优化潮湿矿物类多孔材料的干燥工艺参数提供了借鉴。