《高等数学》教学中极限部分的反例探讨

邱敏

高等数学是理工类学生最重要的基础课之一。我们在学习过程中发现：高等数学中的极限部分有很多定理、命题都只是充分条件。即：若完全满足此类定理或命题的条件时，结论必然成立;不满足，则不一定成立。由此我们研究使该命题不成立的实例不失为一种反驳与纠错的方法。而研究定理命题的意义非常重大，主要体现在对极限思想的理解与应用。具体如下：

一、能够加深对基本概念的理解以及进一步了解定理的作用。如果仅从正面去分析“概念、性质、法则”等往往不能抓住命题的本质，而由其反方向思考，有时更能理解内涵。

二、能够精确把握各个重要概念的联系。

三、能够加快新理論的诞生，消除历史上的“盲点”，“悖论”;反之，也使得高等数学更为严谨，并且在形式、结构、应用上更为完整。

数列极限的定义我们非常熟悉，但是仍然有很多人会对这个简单概念感到模糊。下面这个例子从反面阐述了数列极限的定义内涵。

分析了上面两个例子，我们由数列极限定义的反面理解了与这两个重要指标的内涵，更深刻领会了高等数学里的极限思想。

很明显，无限多个无穷小量相加不一定构成无穷小量，无限多个无穷小相乘会出现什么样的结果呢？有的读者按照定势思维分析，想象中无限多个无穷小作乘法运算必构成无穷小量。事实上，这种直觉性的结论是错误的，如下反例可以得到结论：无限多个无穷小量的乘积并不一定总是无穷小量。

这三个问题着重从极限概念、极限的四则运算方面构造反例，从而达到了更深入地理解高等数学里最重要的极限思想的目的。