对高中教材平面向量基本定理的拓展

周如俊

（江苏省灌南中等专业学校，江苏灌南 222500）

对【题1】～【题4】及【例1】～【例5】有关形异质同的考题进行归类并拓展，形成平面向量基本定理中双变量λ，μ系数之间代数式求（最）值的问题：已知平面内某几何图形，常见为三角形、梯形、四边形、正多边、圆、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）等图形上存在一组基底及任一向量点P一般在上述几何图形边上或内部区域变动）求表达式的（最）值（常数m,n∈R）.本文在文献[1]有关概念基础上，结合有关试题，对高中数学教材中平面向量基本定理内容进行拓展，从“加、减、乘”三个思维视角对双变量λ，μ系数问题作简要探究．

【题1】（2020年江苏高考第13 题）如图1，在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D在边BC上，延长AD到P，使得若（m为常数），则CD的长度为__________.

图1

图2

【题2】（2013年江苏高考第10 题）如图2，设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=若为实数），则λ1+λ2的值为________．

【题3】（2017年江苏高考第12 题）如图3，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为α，且tanα=7，的夹角为45°.若（m，n∈R），则m+n= ．

图3

图4

【题4】（2009年安徽高考（理）第14 题）给定两个长度为1的平面向量和它们的夹角为120°.如图4，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若则x+y的最大值是 ．

一、“加”的思维策略

所谓“加”的思维策略，主要指利用平面向量的等和线性质，借助“数形结合”将具体的平面向量的双变量λ，μ系数之和mλ+nμ（最）值的运算转化为距离的长短的比例关系问题的解题策略.

图5

图6

（1）定值k的变化与等和线到点O的距离成正比，即

（2）当等和线l与直线AB在O点两侧时，k∈(-∞,0)；当等和线l过点O时，k=0；当等和线l在O点与直线AB之间时，k∈(0,1)；当等和线l恰为直线AB时，k=1；当直线AB在O点与等和线l之间时，k∈(1,+∞).

（3）当两等和线关于O点对称时，则固定值k互为相反数.

以图5为例作简证：

因点P在直线l0上，故平面向量基本定理知：λ+μ=1.

因O，P，P1三点共线，存在实数k使得故即kλ+kμ=k(λ+μ)=k.

因AB//A1B1，则由三角形相似比知：k=

等和线类考题求解思维策略是：若所求向量系数之和为λ+μ情况，先找出λ+μ=1 的直线l0，然后作l0的平行线（等值线）l，最后利用相似比k，求出λ+μ的值即可；若所求的向量系数之间是mλ+nμ线性关系，通过调节基底，使得所求表达式成为mλ+nμ两个新基底的系数和，在此新基底情况下，确定系数和mλ+nμ为1的直线l0情况，将l0平行移动到最值时等和线l位置，通过相似比k求出mλ+nμ即可.

对文前【题1】～【题4】试题求解作如下简析.

【题1】如图7 所示，本题关键是利用等和线定理求出PD、AD的长，再在△ADC中利用正弦定理求解即可.

两系数和为1 的等和线为BC，过A点作的等和线两系数和为

若D与C重合，则CD=0；若D与C不重合，则相似比从而可求PD=，AD=PA-PD=3=AC，从 而 在△ADC中，由正弦定理求出故CD=0 或

图7

图8

【题2】作图8 所示辅助线，易知DF为BG的中位线.等和线l（直线AF即直线DE）的两向量系数之和

【题3】【题4】分别作如图9、图10 所示等和线．

图9

图10

【题3】过C点作等和线l，则

【题4】过C点作等和线l（C点为圆O切点），此向量系数之和存在最大值：(x+y)max=

【例1】（2017年全国高考Ⅲ（理）第12 题）如图11，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若则λ+μ的最大值为________.

图11

图12

【简析】作如图11 所示辅助虚线，两系数和λ+μ为1 的等和线为l0（即BD直线）；最远的等和线为l（即直线P1P），此时(λ+μ)max=

【例2】（2013年杭州一模第17 题）如图12，在扇形OAB中为弧上一个动点，若则x+3y的取值范围是________.

二、“减”的思维策略

所谓“减”的思维策略，主要指利用平面向量的等差线性质，借助“数形结合”将具体的向量的双变量λ，μ系数之差mλ-nμ（最）值的运算转化为距离的长短的比例关系问题的解题策略.

图13

（1）同号的k值之比等于点O到等差线距离之比，即

（2）当等差线l与AM延长线相交时，k∈(-∞,0)；当等差线l恰为直线OM时，k=0；当等差线l在直线OM与点A之间时，k∈(0,1)；当等差线l过点A时，k=1；当等差线l与延长线MA相交时，则k∈(1,+∞).

（3）当两等差线关于OM对称时，则固定值k互为相反数.

以图13为例，作简证：

当点P与点M重合时则λ-μ=0；

当点P是直线OM（即l0）上异于O、M任意一点时，不妨设

当点P在与直线OM（即l0）平行的直线l上时故

等差线类考题求解思维策略是：若所求向量系数之和为λ-μ情况，先找出λ-μ的直线l0，然后作l0的平行线（等值线）l，最后利用相似比k，求出λ-μ的值即可；若所求的向量系数之间是mλ-nμ线性关系，通过调节基底，使得所求表达式成为mλ-nμ两个新基底的系数和，在此新基底情况下，确定系数和mλnμ为1的直线l0情况，将l0平行移动到最值时等和线l位置，通过相似比k求出mλ-nμ即可.

【例3】（2014年陕西高考（理）第18题）在直角坐标系xoy中，已知点A(1,1) ，B(2,3)，C(3,2)，点P(x,y)在△ABC三边围成的区域（含边界）上．

（1）略；

【简析】本题命题本质是基于等差线的内容背景而设计试题的，设BC中点为M，易求出三条平行线的直线方程（如图14所示）．

图14

等差线为AM时：k=m-n=0，过C点等差线时k=m-n存在最大值，且kmax=m-n=

三、“乘”的思维策略

所谓“乘”的思维策略，主要指利用平面向量的“等积线”性质，借助“数形结合”，将具体向量的双变量λ，μ系数之积的λμ（最）值运算转化为利用等积线（双曲线）上（动）点与题设中向量几何（位置）之间关系问题的解题策略.

（1）当双曲线有一支在∠AOB内时，k＞0.

（2）当双曲线两支都不在∠AOB内时，k＜0.

建立如图15所示坐标系，x轴是∠AOB平分线，作简证：

图15

记点P坐标为(x,y)，则从而有x=(λ+μt)a，y=(λ-μt)b，即

等积线类考题求解思维策略是：首先，确定（或画出）等积线（即双曲线）方程（图象），其次，借助等积线图象，数形结合速解有关求（最）值问题.

【例4】（2010年上海高考（理）第13 题）如图16 所示，直线x=2 与双曲线的渐近线交于E1,E2两点，记任取双曲线Γ 上的点P，若b∈R），则a、b满足的一个等式是______.

【简析】本题点P在以直线OE1，OE2为渐近线的等积线（双曲线），渐近线方程为y=点坐标为（2，1），E2点坐标为（2，-1），由等积线定理知：4×1×(ab)×22=4，即ab=

图16

【例5】（浙江省镇海中学2020 届高三5 月高考仿真测试数学试题）已知平面向量a，b，c，d满 足，a·c=b·c=0,c·d=0 ，若平面向量s=xa+yb（x,y＞0 且xy=1），则的最小值是___________.

【简析】本题命题的核心是“s=xa+yb（x,y＞0 且xy=1）”条件中隐含着等积线的性质内容，其中“t=1,λμ=1”.

因s=xa+yb（x,y＞0 且xy=1），由等积线定理知：向量终点S(m,n)在等积线（双曲线）上（如图18）.

图17

图18

事实上拓展平面向量基本定理还有等商线定理、等平方和线定理以及等和面定理，他们的性质也是命题者未来可能关注的拓展点，限于篇幅不再赘述.