把握本质 释疑解惑

文 陈 俊

第2章 轴对称图形

领 衔 人：丁建生

组稿团队：南京师范大学第二附属初级中学

生活中有很多轴对称图形，我们也能从中感受到“对称美”。本章的重点就是利用轴对称探索线段的垂直平分线，角的平分线以及等腰三角形、等边三角形的有关性质和判定；难点是理解线段垂直平分线，角平分线以及等腰三角形、等边三角形相关性质和判定产生的过程。我们只有把握好其本质，才能有效地抓住重点，破解难点。

一、轴对称性质的应用

例1如图1，点P是△ACB外的一点，点D、E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，点P关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE=2.5，PD=3，ED=4，则线段P1P2的长为______。

【解析】利用轴对称图形的性质得出PE=P1E，PD=P2D，进而利用DE=4，得出P1D的长为1.5，即可得出P1P2的长为4.5。

【点评】解本题的本质在于掌握轴对称的性质，挖掘其隐藏条件，即PE=P1E，PD=P2D。

二、线段垂直平分线性质的应用

例2如图2，在△ABC中，PM、QN分别垂直平分AB和AC，BC=6cm，∠BAC=100°。求△APQ的周长与∠PAQ的度数。

【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，则△APQ的周长可转化为PB+PQ+QC，即BC的长，为6cm；易知∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，∠B+∠C=80°，则∠PAQ=∠BAC-（∠PAB+∠QAC）=100°-（∠B+∠C）=20°。

【点评】本题的本质在于掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。注意：这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。我们在使用该性质时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。

三、角平分线性质的应用

例3如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得△PAB与△PCD的面积相等，则满足此条件的点P有多少个？

【解析】因为AB=CD，若使△PAB与△PCD的面积相等，则点P到AB和CD的距离相等。所以作∠E的平分线，除点E，这样的点P有无数个。

【点评】角平分线的性质是角平分线上的点到角两边的距离相等。本题的本质在于逆用角平分线的性质：到角两边的距离相等的点在角平分线所在的直线上。牢记：角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。

四、等腰三角形的性质和判定应用

例4如图4，已知AB=AC=BD，则∠1与∠2的关系是（ ）。

A.3∠1-∠2=180°B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.∠1=2∠2

【解析】由AB=AC，设∠B=x°，则∠C=x°。由AB=BD得，∠1=∠BAD=90°，根据外角性质，可得∠2=∠1-∠C=90°°。通过观察两式，可得3∠1-∠2=180°，故选A。

【点评】解本题的本质在于掌握等腰三角形的“等边对等角”性质，即等腰三角形的两底角相等。提醒：用字母表示角的度数，从而“以解代证”，可以使解题过程清晰明了。

例5如图5，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点。求证：AG⊥EF。

【解析】只要证明AF=AE，利用等腰三角形的“三线合一”的性质即可解决问题。证明过程留给同学们自行探索。

【点评】解本题的本质在于熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质以及“等角对等边”的应用。等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合。

五、等边三角形的判定与性质的应用

例6如图6，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N。（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB=12cm，求CM的长。

【解析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，又因为∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，则∠PMB=∠MNC=∠APN。根据平角的定义，即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，所以△PMN是等边三角形；（2）易证△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm。根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长。

【点评】解本题的本质在于掌握等边三角形的性质和判定。等边三角形的性质是：等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；等边三角形是等腰三角形，具有等腰三角形所有性质；等边三角形的每个角都等于60°。等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

同学们，理解问题的本质，充分挖掘题目中的隐藏条件，就找到了解题关键。相信你们在今后的学习中，一定会透过问题表象看到问题本质，从而达到释疑解惑的目的。