指向核心素养的数学教科书习题研究

□刘 超李 妍汪晓慧

以核心素养推进基础教育改革与发展是当下教育发展的重心。以培养“全面发展的人”为宗旨的核心素养育人理念促使课程体系不断重构、课堂教学不断变革。就数学学科而言，数学教育对发展学生核心素养的独特贡献，主要体现在科学精神、学会学习和实践创新上。数学的力量在于解决实践过程中遇到的、前人未解决的问题；数学的价值在于激发学生的心智，使其学会聪明地发现问题、思考问题与解决问题。所以，从核心素养培养的视角研究现行教科书中的习题是一项非常重要的工作。

研究内容方面，我们选取了人教版和苏教版教科书“圆”教学主题的课后习题作为研究对象。之所以选取该主题，是因为圆是平面图形中从直边到曲边衍变的最为特殊的一个图形，它有效地衔接了平面图形、立体图形之间的联系，对涉及平面图形周长、面积公式推导，立体图形表面积、体积公式推导过程中所蕴含的转化思想、极限与积分思想等核心数学思想的实践以及现实应用都非常深刻。研究工具方面，由于核心素养指向的习题研究尚无现成模式，故选取应用广泛的鲍建生教授2014年修订的习题难度模型，对“圆”教学主题的习题难度进行计算和分析，并从核心素养的视角，分析当前教科书习题设置的优点和不足，从而为更好地实施指向核心素养的数学教育教学提出建议。

一、指向核心素养的数学教科书习题难度研究

两个版本教科书关于“圆”教学主题的基本内容如表1所示。

本研究基于鲍建生教授2014年修订的习题综合难度模型，从“背景”“数学认知”“运算”“推理”和“知识含量”五个因素对两个版本教科书“圆”教学主题的课后习题难度进行了计算，下面作具体分析。

（一）背景水平

数学知识是核心素养培养的前提，数学情境是数学知识的载体。问题情境是学生产生解决问题动机、维持问题解决行为、积极主动从事问题解决活动的重要保障。数学核心素养的培养离不开数学情境。

在背景因素上，人教版和苏教版“圆”教学主题的习题统计结果如图1所示。

如图1所示，苏教版和人教版无实际背景的习题比例都很高。苏教版为54.55%，人教版为41.38%。这显然与我国传统数学文化强调的“经世致用”的理念不相符合，我国以《九章算术》为代表的数学著述都是坚守源于生产生活实际的朴素面貌。这一统计结果也与《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求有一定出入：力求从学生熟悉的生活情景与童话世界出发，选择学生身边的、感兴趣的数学问题，以激发学生学习的兴趣与动机，使学生初步感受数学与日常生活的密切联系。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔的“现实数学教育”思想，也积极倡导数学必须连接现实，必须贴近儿童，必须与社会相关联，要体现人的价值，所以数学的学习，包括数学的考试评价需要与现实生活紧密联系。再从本研究所选取的内容主题来看，“圆”这一教学主题涉及的知识点在现实生活中应用广泛，甚至有些应用是必须选择的（如轮胎是圆形的），所以，无实际背景的习题比例过高是有问题的。

在有背景的习题中，个人生活背景占据了主导地位。但是，隶属个人生活背景的这些情境素材，有一些其实与学生的日常生活相去甚远，如“卡拉OK小歌手”的情境。[1]据统计，两个版本教科书“圆”教学主题关于公共常识背景的习题比例较低，都没有关于科学情境的题目。这对于数学教学实现由现实世界向数学世界、由低层数学向高层数学的跨越，对于学生数学素养的培养都是不利的。

（二）认知水平

认知能力是人脑加工、储存和提取信息的能力，即人们对事物的构成、性能、与他物关系、发展动力、发展方向以及基本规律的把握能力。指向核心素养的数学学习过程应该是学生学习数学知识、思想、方法和用数学解决实际问题的过程。

在数学认知因素上，对人教版和苏教版“圆”教学主题的习题统计结果如图2所示。

图2

从图2可以清晰地看到，人教版和苏教版“圆”教学主题的习题在数学认知的“概念”水平和“领会—说明”水平占比较高。具体地，“概念”水平均为50%，“领会—说明”水平也都在40%以上，且两个版本教科书差距甚微。在“分析—探究”水平上，两个版本教科书占比都较低，相比之下，人教版比苏教版高出近4个百分点。除此以外，隶属“分析—探究”水平的习题类型没有做到将开放题、推理题、非常规题等面面俱到地呈现。一切知识，唯有成为学生探究与实践对象的时候，其学习过程才有可能成为素养发展的过程。[2]由于教科书习题从情境创设起始，没有给学生创设使学生感兴趣且具有挑战性的问题解决任务，其“分析—探究”水平低也是可以预判的，即现有教科书习题的认知水平不足以充分呈现和解析知识背后内蕴的数学思想与方法。两个版本教科书习题认知水平的分析结果印证了青浦实验的结论：作为高层次认知水平的“分析—探究”水平不高，其原因之一就是学生从事的数学任务不是高认知水平层次的学习任务。

（三）运算水平

数学运算是指根据算理和算法对数或式进行的运算。它要求运算正确、合理，并对运算结果的正确性进行判断、验证，从而培养学生能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。运算能力并不是一种单一的数学能力，而是运算技能与逻辑思维能力的一种独特的结合。[3]

在运算水平上，人教版和苏教版“圆”教学主题的习题统计结果如图3所示。

图3

如图3所示，人教版和苏教版属于数值运算水平的习题占比相当高，都在70%以上，这非常明显地体现了我国传统“双基”教育的理念与优势。相较而言，两个版本教科书关于无运算的习题占比都接近30%，这个比例与传统教育中的“熟能生巧”理念是符合的；两个版本教科书关于简单符号运算和复杂符号运算习题数量均为0，尤其是没有一道关于简单符号运算的习题，这说明教科书未能较好地体现数学本质与数学思想方法的教学要求。由此，两个版本教科书在无运算和符号运算方面的习题比重应进行合理分配，在注重双基的前提下，关注和实践核心素养培养的要求。

（四）推理水平

数学推理是由一个或几个已知条件推断得出一个新的数学结论的思维形式。[4]张奠宙先生指出：“数学素质核心则是逻辑思维能力。”数学推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。

在推理因素上，人教版和苏教版“圆”教学主题的习题统计结果如图4所示。

图4

据统计，人教版无推理水平的习题占比为13.79%，苏教版无推理水平的习题占比为31.82%，两个版本教科书关于无推理水平的习题数量差异较大，反映出教科书编者对于数学推理的认识存在一定偏差。在简单推理水平上，两个版本教科书习题数量占比都很高，分别为66.7%和82.76%，这说明简单推理是该学段学生主要训练和培养的推理水平。习题的变式较多也表明我国数学教育注重对学生进行逻辑思维的训练。比较而言，两个版本教科书在复杂推理水平上占比都较低。按照定义，复杂推理是指包含三个及以上推理步骤的推理。这与学生学段是对应的。对于小学数学教科书而言，人教版和苏教版“圆”教学主题的习题编写在推理因素水平上的设置是比较恰当的。如果说存在问题，那就是由于教科书习题设置在联系学生真实生活经验方面存在缺失，使得学生难以经历观察、动手操作、实验、猜想、证明的数学推理全过程。由此可见，习题情境的真实性和多元化是影响习题难度各因素的一个重要方面。

（五）知识含量水平

在知识含量因素上，人教版和苏教版“圆”教学主题的习题统计结果如图5所示。

图5

从图5中的数据可以看出，在习题知识点含量上，苏教版和人教版在单个知识点水平上占比较高，分别为56.16%和58.62%。在两个知识点含量水平上，人教版占比为32.76%，苏教版为31.82%。在三个及以上知识点水平上，两个版本教科书都设有习题，分布较为合理。如果说存在问题，那就是教科书习题没有体现核心素养培养所倡导的“跨学科”的理念，即习题分析以及解答过程中应有学生熟悉的数学学科以外的常识或其他学科的知识。

（六）习题综合难度分析

在对教科书习题难度的五个维度进行分析的基础上，接下来我们对这两个版本教科书的习题综合难度进行分析。

图6

图6所示的是两个版本教科书“圆”教学主题习题各难度因素水平加权平均计算的统计数据。总体来看，不论是人教版还是苏教版，习题综合难度的五边形模型在整体上都有下降的趋势。这表明，我国小学数学教科书习题在背景因素上缺失较多，其他几个维度也受到问题情境水平的较大影响。图6的统计数据也反映出，教科书习题在运算水平和知识的含量上做得较好，这也印证了我国数学教育重视“双基”训练，培养能力，突出数学思想方法教学，以及精讲多练等优良传统。需要关注的问题是，数学教育如何从传统的双基优势自然地“正迁移”到关于核心素养培养所倡导的“人文底蕴、自主发展、社会参与”等新理念上。

二、指向核心素养的教科书习题编制建议

基于对人教版、苏教版“圆”教学主题习题难度的分析，综合已有相关研究，并结合当前核心素养取向的育人理念，我们认为，我国数学教科书习题的特色是坚守和传承“双基”育人理念，教师注重精讲多练，强于基础。问题在于，现行教科书习题的设置与核心素养的教育理念存在一定差距。我们认为，作为数学教育重要载体的教科书习题应进行以下几个方面的改进。

（一）指向核心素养的数学教学必须是真实的教与学，教科书习题要有真实情境与任务的介入

义务教育阶段指向核心素养的数学教学，应将学生置于真实问题情境中。问题情境是学科知识的载体，是学科知识产生和发展的条件。它对促进学生对知识的学习、理解，建构系统学科知识，创建社会化色彩的学习环境等具有重要作用。只有当学生知道在什么样的情境中应用这些知识，知道面对新的、真实世界的情境时如何调适、修正这些知识，在他们能够解释信息、创建模型、解决问题、建立与其他概念、学科及真实世界情境的关联从而形成理解世界的新方式时，才真正发生了真实的、有深度的学习。[5]由此，学生才能有意识地将问题解决的结果反馈于实际问题，从立足于人类社会发展、人类生命生存等视角，切实感知生命存在的价值，树立爱国敬业、敬畏科学、保护人类赖以生存和发展的环境的意识。只有介入真实情境的积极主动的学习，才能实现情景背后的真实世界与课程、教学的整合，实现课程与生活的关联；才能实现学以致用、知行合一的学习，实现学生对数学的充分理解与深度学习。

从核心素养考核评价的角度看，评估核心素养培养的务实做法就是让学生“做事”。[6]做事必须要有真实的情境，只有在真实情境下，才能激发学生综合运用所学知识解决实际问题的能力，才能全方位考核和评估学生必备品格和关键能力的培养情况。

关于问题情境类型的选择，根据PISA数学素养测试题情境创设的经验及我国每次参与PISA测试都有优异表现的实际，教科书习题情境应做到个人情境、职业情境、社会情境、科学情境的全覆盖。此外，问题情境的创设要具有开放性，以便于激起学生主动探究、深入思考的愿望，为学生提供展现个性思维、发挥创造能力的机会。

（二）指向核心素养的数学教学强调对数学本质和数学思维过程的全面把握，教科书习题应适度提升符号运算水平和学科大概念水平

数学符号运算是促进学生对数学的理解与应用、提升数学思维水平的重要途径。数学符号运算的核心是基于数学运算的符号操作，符号操作作为解决代数问题的一种重要补充，是要求学生必须掌握的，能够理解利用数学符号进行运算所得结果的一般性，感悟数学符号的本质。[7]基于前文分析，我国教科书习题的总体计算量非常高，但四种运算水平的分布不尽合理，尤其是缺失简单符号运算习题,也就是介于数字运算和抽象符号运算之间的形式符号运算。

笔者曾以圆的面积公式为例在一个六年级的班级进行了两个层次的测试，试题如下：

用一条长为9.42米的绳子围图形，围成什么图形的面积最大？最大面积是多少？如果把9.42换成字母a，你还会求面积吗？

测试结果表明，一个48名学生的班级，有29名学生能根据特定周长（9.42）准确计算圆的面积；但是将周长数值换成字母之后，只有3名学生答对，错误率近90%。考虑到学生已经学习了“用字母表示数”“式与方程”等知识，学生解答的情况表明，学生平时关于符号运算的练习较为缺乏。因此，教科书习题的设置应适度增加数学符号类习题，应有意识、有层次地逐步推进学生对数学符号理解、符号操作、符号表达、符号思考与应用的学习和理解过程，从而帮助学生提高数学符号应用意识和符号应用水平，为学生深刻理解数学概念和数学思想铺平道路。

此外，还应考虑提升习题的综合程度和跨学科应用水平，以凸显学科大概念的教学要求。具体到“圆”教学主题，教科书中的习题应围绕平面图形由直边到曲边的渐进，以平面图形的性质和直边图形的周长与面积为基础，考虑从圆的周长、面积公式的直接应用、实际问题求解等方面提升习题综合水平，以帮助学生总结提炼半径、周长、面积之间的数量关系，并逐步学会利用符号进行抽象运算，以促进学生数学思维与推理的深入，促进对数学知识的存储、深度加工和提取应用，最终将转化思想、极限思想等数学学科大概念内化为学生个体解决实际问题的强力支撑。

（三）指向核心素养的数学教学强调考核评价的多元化，教科书习题设置应关注表现性评价的需求

传统的纸笔测试，注重对学生独立、不成体系的知识技能的评价，评价的范围也受到很大限制。指向核心素养的数学教育教学注重对学生的批判性思维能力，交际交往能力，合作协同能力、创新创造能力等高阶认知能力的培养。基于传统评价模式，上述认知能力难以客观、全面地进行测评，也就无法进行针对性的培养。因此，有必要采用并丰富“能检测学生的认知思维和推理能力以及运用知识去解决真实的、有意义的问题的能力”的表现性评价。[8]实施表现性评价，需要立足于“真实的生活或模拟的评价练习”的表现性任务。表现性任务应具有操作性强、真实、富有吸引力、能与有关的知识技能建立联系、能对学生进行个别评价、有清楚的指导语等特征。[9]

我们认为，教科书习题应呼应表现性评价的需要，习题类型上应结合生活实际和学生日常经验，设置说理题、开放题、实践操作题、现实调查题、创新题等，以满足口头测试、论辩或辩论、短文题考试、写作测试、过程反应题、实验技能考试等表现性评价的需要。在习题应答方式上，应增加小组合作汇报、组间交流分享、成果展示、实践动手操作等形式。需要指出的是，教科书习题不可能都是表现性评价任务，但作为表现性评价的习题任务，必须关注该习题任务的信度和效度，确保能实现核心素养培养的要求。

（四）指向核心素养的数学教学强调促进学生的全面发展，教科书习题应加强数学文化的渗透，以实现对学生的德育和美育教育

虽然现有教科书习题在情景创设、分析问题和解决问题过程中或多或少地体现了“五育”并举的教育理念，但由于应试教育背景下对考试成绩的一味追求，德育、美育教育总归肤浅，没有深入到“五育”教育的本质。因此，教科书习题从问题呈现、问题解决一直到总结反馈，都应加强传统数学文化的渗透和数学知识的实际应用，以实现对学生的德育和美育教育。众所周知，初等数学发展的辉煌时期在中国，义务教育阶段的数学教育应认真考虑如何结合这一传统优势对学生开展有针对性的德育和美育教育。以本研究所涉及的“圆”教学主题为例，墨家的“一中同长”开启了对圆这一特殊曲边图形认识和研究的旅程；应用“化曲为直”思想研究圆的周长过程中发现的π这一关键量，使全世界记住了比“周三径一”更加准确的“祖率”；刘徽对“割圆术”的研究，首先是得到了“徽率”，然后在渗透极限、积分思想的基础上，基于转化思想推导出了圆的面积公式。这些成就的取得都比西方早了很多年，并且都记载在了以《九章算术》为代表的“算经十书”等数学经典著述中。这些历史文化素材充分展现了我国古代数学家为国家、为数学奋斗的历程，应该是最好的德育教育素材。在“圆”这一章内容中，神奇的π、周长公式、面积公式等体现了数学自身的奇异美、简洁美；在涉及圆有关知识的实际应用上，在让学生利用圆设计美丽的图案（如奥运五环、水滴图案、星形图案、太极图案）的实践操作基础上，进一步欣赏现实生活中利用数学创造的美的存在，无形中渗透了美育教育。

数学本身是一门朴实的学问，之所以变成艰涩费解的样子，只不过是在入学考试这块凹面镜中的歪曲反映而已。[10]基于核心素养的数学教学应还数学教育之本真，凸显数学教育对于发展学生核心素养的重要作用。要实现这一目标，就要从教科书内容体系编排、习题设置、数学思想方法渗透、现实应用等维度充分地实践批判质疑、勇于探究的科学精神，培养学生学会学习和实践创新的能力，从而为立德树人、培养全面发展的人打下坚实的基础。