“=”教学不宜简单化——“=”教学的思考与实践

□郑建锋

“=”是学生较早认识的数学符号，表示左右两边相等的意思。但学生对等号的理解不仅狭隘，甚至还有错误。这是什么原因造成的呢？和教学有关系吗？教师应该怎样促进学生对“=”意义的正确理解？

一、学生错法雷同

在学习了万以内进位加减法后，练习中有这样一道题：615+385=□+140=□-207=□。本以为这是一道很普通的题，但学生的答题情况却让笔者不敢再“轻视”这样的题。学生的答案好像事先商量好似的，几乎一样（如图1）。

图1

这是偶然的吗？其他班级的学生也会这样做吗？笔者对另外3个平行班的学生进行了测试，结果“症状”相似，统计如下表。

班级三（1）三（2）三（3）三（4）合计班级人数45人45人42人44人176人理解正确的人数4人2人6人7人19人理解正确人数占比8.9%4.4%14.3%15.9%10.8%理解错误的人数41人43人36人37人157人理解错误人数占比91.1%95.6%85.7%84.1%89.2%

其中，“理解正确的人数”中包括题意理解正确但计算错误的人数（如图2、图3）。

图2

图3

“=”是学生很早认识并运用频繁的一个非常“简单”的符号，可事实好像并不是这样。

题中的式子与学生见到的一般算式不太一样，图1中呈现的式子特别“长”，“=”后又是一个算式，在学生的观念中，一个算式的“=”之后紧跟着的应该是一个计算结果。

二、学生所理解的“=”

从以上例子我们可以看出学生理解的“=”和其含义不完全对等。“等于号像小桥，算对了，过了桥，算错了，过不了”，这首儿歌多少能反映学生对“=”意义理解的角度，“=”传递给学生的信息和“算”“结果”这些词相关。因此，在学生的理解中，“=”是算式与答案的连接符号或分隔符号，有了“=”，就可以把左边算式的答案在右边写下来，等号被看成是“开始计算算式的固定信号”。等号像一个程序，看到等号，学生就不假思索地开始计算。为了弄清楚学生对等号的理解，笔者把等号的意义和学生的理解做了一个对比。

等号的意义◇等号表示一种关系，具有平衡、对等的意义◇答案不一定总在等号右边◇等号两边的“项”可以是式子，而且不一定有显性的答案◇可以在等号两边实施相同的运算，等式仍然成立……学生对等号的理解◇等号表示一种程序，是开始计算的信号◇答案应该出现在等号右边◇等号两边的“项”中，一边是算式，另一边是答案，答案是一个具体的数值◇运算应是单向的，只能对一边的“项”进行计算……

学生对等号的理解往往停留在“算术”中，仅仅将它作为得出运算结果的符号，而要把等号理解为等量关系的表示，应该是“代数”中的事情了。那么，为何学生在很长的一段时间内，对等号的理解没能跳出“算术”，拓展到“代数”中呢？

三、“=”被简单地教学

数学符号的“一词多义”往往造成学生理解上的片面性，因为面对的是相同的视觉对象，而它们表达的意义却并不一定相同。“=”就是一个“一词多义”的符号，那么，除了视觉对象有时并不等于思维对象而造成学生理解上的困难之外，还有别的原因吗？是不是学生代数思维发展滞后所造成的呢？

曾有研究指出，孩子在9～10岁的时候能够扩大对等号意义的理解，用字母表征未知数，用变量表征关系，计算未知数，甚至能解带字母符号的一元一次方程。看来这和学生代数思维发展滞后有关，那么，和我们的教学有关系吗？

在人教版教材中，学生第一次接触等号是在一年级上册“数的大小比较”一课中，两个数的大小比较有两类：一类相等，一类不等。之后，学生开始在运算中使用等号，如3+4=7,等号被理解为“得出”，学生只是把等号简单地看成得出运算结果的符号。尽管教师会强调“两边相等，就用等号表示”，暗示等号的意义，但学生由于年龄、思维的特点，把等号理解为表示计算的结果是十分自然的。但问题在于，之后很长的一段时间内，等号的意义没有得到新的拓展。直到五年级上册学习“简易方程”时，才赋予等号“真正”的意义。

笔者统计了原人教版实验教材一年级至三年级拓展“=”意义的训练题，见下表：

训练形式算式在“=”右边连接两个算式的“=”一年级上册共0题共2题共0题共2题共0题共0题共0题下册共0题二年级上册共0题下册共1题三年级上册共0题下册共0题

其中，一年级上册中有1题是思考题，二年级上册中的2题是学生认识乘法意义后，把加法算式改写成乘法算式的训练，如4+4+4=（）×（），学生对此更多的理解是乘法的意义。可见，拓展等号意义的题目在教材中出现不多。那么，是否可以这样理解：在“数的大小比较”一课中第一次引出“=”是基于等号相等意义的，但在这之后的很长一段时间（学习方程之前）“=”却作为得出结果而出现，教材和教学既没有帮助学生打破算式总在左边、结果总在右边的观念，也没有帮助学生逐步建立等号表示算式等值的观念，以致学生没有逐步丰富和扩充对等号意义新的理解，没有为学习等式的性质、建立两边有多个算式的代数方程做好准备。一项面对学生的访谈表明，当问及学生等号表示什么时，多数学生的回答是等号表示答案，进一步要求学生举出用等号的例子，学生所举的只限于左边是运算、右边是答案的例子。在分解质因数时，学生对合数在等号左边的算式感觉很“另类”。因此，要突破从算术思维到代数思维的障碍，首先要将等号的意义从“得出”回归到“相等”层面。

那么，我们的教学可以做些什么呢？

四、对“=”教学的建议

国际数学教育大会获奖者拉弗德的研究表明，代数思维的早期发展可以使学生更加容易地接受代数符号，也就是说，重视代数思维早期的系统渗透，能更好地帮助学生从算术思维转向代数思维。无疑，拓展对等号意义的理解是教师首先应该关注和引起重视的。在教学中可注意以下几点。

（一）天平直观模型的应用

在帮助学生理解等号的意义时，天平是一个非常适合的直观模型。天平左右两边平衡的状态直观地表达了等号两边等量的意义。如“数的大小比较”一课中，教材是通过比较小猴子数量和水果数量的多少认识、学习等号的。尽管该情境比较有趣，符合学生的身心特点，但对等号两边相等意义的诠释却不如天平来得直观。因此，教师不妨引入天平应用于教学，为了兼顾学习的趣味性，依然可以创设情境——“小猴子玩天平”（如图4）。

图4

通过天平的多种状况比较，学生对等号“两边相等”建立了一个比较直观的表象。

（二）适时打破结果总在右边的观念

学生初学运算，教师往往会为算式创设一个生动的“故事情境”。如3+2=5，可能讲述的是“树上原来有3只鸟，又飞来2只，合起来是5只”，这有利于学生理解运算的含义。按照“故事情境”发展顺序写出的算式，得数在等号的右边是很自然的事情。那么，怎样帮助学生打破算式总在等号左边、结果总在等号右边的观念呢？

1.摆脱故事情节发展顺序的束缚

既然故事情节发展顺序使算式的书写自然地从左到右，那么教师可适时地采用无故事情节的题目，以摆脱此束缚（如图5）。学生按照已有的知识和经验，很容易将题目与数的分解建立联系，解释为把6分成几和几。这时等号的含义不是算出算式结果，而是把等号前的数分解，等号在算式的左边，理解成“可以分成”是比较自然的。如果说“□+□=□”是实施一个确定的运算，那么“□=□+□”是寻找一个数可能的运算，结果不唯一，这样的式子也可理解为“数”与“式”的等价。

图5

2.借助天平实现等号两边的互换

教师也可以借助天平这个直观模型实现“=”两边的互换。如：有一些颜色不同重量相等的小球，请你根据图6写出算式。学生很容易理解左边3个加2个与右边5个一样重，写出算式：3+2=5。然后调换小球的位置，如图7，要求学生再写出一个算式。

图6

图7

由于小球被调换了位置，学生很自然地调换了算式中“3+2”和“5”的位置，把算式5=3+2理解为左边5个等于右边3个加2个的重量。这样，学生认为等号出现在算式左边也是理所当然的事情。可见，天平不仅提供了左右两边平衡的直观，而且为学生理解等号两边的可交换性提供了实例。

（三）逐步建立式与式等值的观念

除了帮助学生建立数与式等值以理解等号的意义外，教师还应帮助学生建立式与式等值的观念。式与式等值观念的建立需要相应的、持续的刺激和训练。

1.利用得数帮助理解

学生理解两个算式等值似乎没有什么困难，但把两个等值的算式用等号连接起来，学生却不太容易接受。如5-2和1+2，学生理解这两个算式结果相同，是等值的。但如果用“=”把两个算式连接起来，得到等式5-2=1+2，学生认为5-2后面应该写上3，怎么会是1呢？因此初始时可以保留得数“3”做过渡，即5-2=3=1+2。虽然这样的表示不一定规范，但学生会认为这个等式比较“可靠”。当然，当学生有所理解后，应把插入的得数从等式中删除。

2.利用图示直观支持

学生的思维在达到一定水平之前，需要依赖图示，以获得直观化的支撑。如4+□=5+□，学生所理解的往往不是两个等值的算式，而是从这个等式中“肢解”出4+□=5这样一个算式，然后在□中毫不犹豫地填入1，即4+1=5。如果提示5+□的方框也要填入一个数，学生才会“醒悟”过来：得数要一样也得是5，再填入0。

但如果为学生提供一个图示（如图8），学生就比较容易把等号两边的算式各看成一个独立的整体。图示直观的作用不仅提示和相等的事实，还为学生理解等式的意义提供了情境。

图8

3.循序渐进，逐步建立

教师要帮助学生循序渐进地建立式与式等值的观念，可以从最简单的“两个算式加数相同”开始，如4+5=5+4。借助图示直观，学生能比较容易地理解加法的可交换性、和不变的规律并构建类似和相等的例子。接着可以拓展到“两个算式加数不同”的情况，如4+5=6+3。再到“加数个数不同”的情况，如4+5=2+6+1。因为加数的个数也会影响到学生对等式平衡的判断，并由加法积累的经验拓展到“减法”“等号两边包含不同的运算”等情况，如12-4=13-□，12-4=6+□，3+4+5=4×□，使学生对等号表示等值的意义有进一步的认识。

克服从算术思维到代数思维的障碍，需要适时拓展学生对等号意义的理解。因此打破算式总在等号左边、结果总在右边的观念，逐步建立式与式等值的观念是非常必要的，需要在教学中进行一些针对性的、序列化的拓展和训练。