基于GARCH族优选模型的舰船器材消耗预测

2020-11-02吴雯雯陈振林

海军航空大学学报 2020年4期

关键词：单位根消耗量差分

吴雯雯，陈振林

（海军航空大学，山东烟台264001）

GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）族模型，即广义自回归条件异方差模型，主要研究时间序列变量的方差变化规律[1]。

舰船器材消耗量受设备生命周期、任务类型、海洋环境以及使用设备人员的技能水平等因素影响，消耗量数据序列的方差不一定随着时间的推移而始终增加。

舰船器材消耗量有时会出现增加，有时可能又会减少，有时会出现增减交替的情况，甚至可能还会伴随着丛集效应的出现，高峰厚尾特征比较突出。

为了有效解决上述问题，可以选择优选GARCH族条件异方差模型来拟合数据序列的变化过程，以提高回归参数估计的准确性。

1 消耗数据分析

选取2015年至2019年某舰船器材月消耗数据序列作为研究对象。

1.1 数据基本特征

将某舰船器材消耗量的数据序列以散点图的形式表示，如图1所示。

由图1可知，随着时间的推移，数据序列呈现出不规则的分布，并且随着舰船使用年限的增加，消耗量的数据总的来说呈现出不规则增加的趋势。

图2 为消耗量数据序列特征图。由图2 可知，该数据序列的直观表征是一个非平稳序列。

图1 舰船器材消耗量数据散点图Fig.1 Scatter plot of warship equipment consumption data

图2 消耗量数据序列特征图Fig.2 Consumption data sequence feature chart

1.2 单位根检验

为了检验消耗量数据时间序列的平稳性，有必要进行单位根检验，采用实证分析中最常用的ADF（Augmented Dickey-Fuller Test）检验。如果存在单位根，则说明时间序列是非平稳的[2-3]。ADF检验由下面公式完成：

式（1）～（3）中：xt为因变量；δ 为参数；t 为时间变量；m 是因变量的滞后阶数；βt 为时间趋势项；α 为截距项；εt是独立同分布，且服从均值为0、方差为σ2的正态分布。

原假设均为H0∶δ=0。依次按照式（3）、（2）、（1）的顺序进行检验。若检验拒绝H0∶δ=0，即原序列不存在单位根，为平稳序列，停止检验。否则，继续检验，直至完成式（1）。

对某类器材消耗数据时间序列的单位根检验可以按照3个步骤进行：①对消耗量原始数据序列进行单位根水平检验，以确认消耗量原始数据序列的平稳性；②如果检验结果为原始数据序列是不平稳的，则对消耗量原始数据序列进行一阶差分检验，检验一阶差分后的数据序列的平稳性；③如果一阶差分后的数据序列仍然不平稳，则对消耗量一阶差分数列再进行二阶差分处理，并检验其平稳性。

1）消耗量数据序列的单位根水平检验。对消耗量的原始序列进行单位根水平检验，检验结果显示，ADF 检验的t=0.609 748>-2.914 517，即：明显大于5%的显著性水平。因此，这说明消耗量的原始数据序列具有明显的非平稳性，须进行一阶差分数据序列的单位根检验。

2）一阶差分数据序列的单位根检验。对一阶差分数据序列进行单位根检验，检验结果显示，ADF 检验的t=-8.150 79<-2.914 517，即：明显小于5%的显著性水平。因此，这说明一阶差分数据序列是平稳的。但是，D(Y(-2),2)对应的P 值稍大。因此，有必要进行二阶差分序列的单位根检验。

3）二阶差分数据序列的单位根检验。对二阶差分数据序列进行单位根检验，检验结果显示，ADF 检验的t=-7.882 63<-3.498 692，即：明显小于5%的显著水平值。因此，二阶差分数据序列是平稳的。

1.3 二阶差分数据序列的特征分析

对数据序列的一阶和二阶差分处理后，可以得出其差分序列基本属于稳定的时间序列，但是其残差序列的波动性呈现出异方差特征，如图3所示。

图3 二阶差分后的数据序列图Fig.3 Data sequence diagram after second-order difference

1.4 残差序列的峰度与偏度分析

按定义，峰度是所选取样本序列的标准四阶中心矩。偏度则是所选取样本序列的标准三阶中心矩[4-5]。

峰度公式为：

式（4）中：K 为峰度；n 为正整数；xi为随机序列变量；μ 是均值；σ 是标准差。

当峰度为0 时，说明数据序列的总体分布与正态分布陡缓程度是一致的；当峰度大于0时，说明数据序列的总体分布与正态分布相比呈尖顶峰状态；当峰度小于0 时，说明数据序列的总体分布与正态分布相比呈平顶状态。

偏度公式为：

式（5）中：S 为偏度；xi为随机序列变量；μ 为均值；σ为标准差。

当偏度为0 时，说明数据序列分布形态与正态分布形态一致；当偏度大于0时，说明数据序列分布形态与正态分布相比为右偏状态；当偏度小于0时，说明数据序列的分布形态与正态分布相比为左偏状态。

对于舰船器材消耗量数据的残差序列进行峰度和偏度分析，可以得出峰度与偏度的结论，见图4。

残差数据序列的尖峰厚尾特征明显，峰度K=3.528 926>0 ，说明比正态分布的顶峰更高。因此，具有尖峰特征。偏度S=0.248 795>0，说明比正态分布右偏。这与ARCH（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型条件基本吻合，可以尝试分析其异方差的显著性，来选择是否采用GARCH 族模型进行预测建模分析。

图4 峰度与偏度分析图Fig.4 Analysis of kurtosis and skewness

2 模型构建

2.1 数据序列相关性及残差序列ARCH效应检验

对二阶差分数据序列进行标准相关性检验，伴随概率P 值均大于0.05，一阶相关性检验部分P 值大于0.05。因此，须对二阶差分序列进行二阶相关性检验，检验结果如表1所示。由表1可见，P 值均小于0.05，这说明仅二阶差分序列具有自相关性。

表1 二阶差分数据序列的二阶相关性检验Tab.1 Second-order correlation test of the second-order differential data sequence

对残差序列进行数据特征分析，如图5 所示。由图5可知，实际的残差波动特征明显，中间部分有明显的丛集效应特征。为了使构建的模型能够准确地反映舰船器材消耗的现实状况，有必要在ARCH 和GARCH 模型建立的过程中，检验数据序列的条件异方差性[6]。

对残差数据序列进行ARCH 效应，即进行LM（Lagrange Multiplier）检验，检验结果如表2 所示。由表2 可知，当滞后项选择8 时，所构造的统计量，其P值小于0.05。因此，说明残差数据序列存在ARCH 效应。

图5 残差序列的特征分析Fig.5 Feature analysis of residual sequence

表2 残差数据序列的ARCH效应检验Tab.2 ARCH effect test of residual data sequence

2.2 ARCH模型的建立

按照恩格尔的假设，随机变量是具有一阶AR(p)自回归过程：式（6）中：xt为随机变量；β 为参数；t 为正整数；p 为滞后阶数；εt为随机扰动项。

能够同时满足{εt} 是一个独立同分布白噪声过程，并且满足E(εt)=0，D(εt)=σ2。如果随机变量xt为一个平稳过程，则其特征多项式的根均应置于单位圆外，即可以通过单位根检验，确定随机变量序列的平稳性状况。

如果存在一个随机过程{εt} ，且

式（7）中：εt为随机扰动项；α 为参数；q 为滞后阶数；εt-1为εt的滞后1阶项；εt为q 阶随机扰动项的函数，可记作εt～ARCH(q)。

为了确定ARCH效应的滞后阶数，分别将滞后阶数按照升序进行检验。当滞后阶数为9 时，ARCH 效应不显著。这样即可确定ARCH 效应的滞后阶数为8，建立ARCH模型，并对模型参数进行估计[7-8]。

模型的滞后项有8项，显然，滞后项过多会使模型计算十分繁琐，且AIC=6.904 8，值比较大。因此，考虑采用GARCH模型。

2.3 GARCH模型的构建

当阶数q →∞时，为了计算滞后阶数，设条件异方差ht表达式如下：

变换后：

式（9）中：k0=(1-ρ1-ρ2-…-ρp)α0为常数项；ht为条件异方差；ρ 为参数。

此时，εt～GARCH(p,q)。

由此可见，ht分别是时间序列的滞后随机误差平方和滞后条件方差的线性函数。GARCH 模型从ARCH 模型的残差特性分析入手，将高阶的ARCH 模型进行简化处理，使模型识别和参数估计比ARCH模型更容易，也更具一般性。

当p=q=1 时GARCH 模型的简化模型即为GARCH(1 ,1) ，即

式（10）中：k0>0；ρ1≥0；α1≥0。

则εt～GARCH(1,1)是平稳过程的充分必要条件：α1+ρ1<1。

运用GARCH 基本模型对参数进行极大似然估计。

式（11）中：Xi为解释变量；Yi为其相应的响应变量；β 为未知回归参数。

设观测集为：

式（12）中：Xi为解释变量；Yi为其相应的响应变量；q为滞后阶数。

则GARCH模型的参数集可以表示为：

式（13）中：δ=[k0,α1,…,αq,ρ1,…,ρp] ；β 和δ 为未知参数。

则GARCH模型的极大似然函数为：

式（14）中：T 为正整数；ht为条件异方差。

取极值可得：

分别构建GARCH(1 ,0 )和GARCH(1 ,1) 模型进行比较，并进行ARCH 效应分析，以获得更能准确反映消耗量现实状况的模型[9-10]。

由GARCH一般模型可知：

GARCH(1 ,1) 模型为：

式（16）～（18）中：ht为条件异方差；α、β 为参数；t 为正整数；p、q 为滞后阶数。

对GARCH(1 ,0 )模型和GARCH(1 ,1) 模型进行参数估计与ARCH 效应检验，结果显示GARCH(1 ,1) 模型的AIC 值较小。因此，可以选择GARCH(1 ,1) 模型作为消耗量预测备选模型[10-13]。

GARCH(1 ,1) 模型为：

参数估计后，可以得到：

3 GARCH族模型比较优选

对数据序列进行GARCH 族模型参数估计与检验，根据AIC 准则与所构建的GARCH(1 ,1) 模型进行比较和优选，以选择精度更高的模型对舰船器材消耗量进行准确预测。AIC 准则，由日本统计学家赤池弘次在1974 年提出，建立在熵的概念上，提供了权衡估计模型复杂度和拟合数据优良性的标准。从一组可供选择的模型中选优，通常选择AIC值最小的模型。

3.1 TGARCH杠杆效应检验

TGARCH（Threshold Garch）模型，简单修正GARCH模型来描述正负项干扰对波动率的非对称影响后果，可以有效描述非对称波动，条件方差使用指数形式表示，放松了对模型参数的限制。TGARCH模型的条件方差可表示为：

ut-1>0 时，有Dt-1=0，表示正向干扰；ut-1<0 时，有Dt-1=1，表示负向干扰；ut-1=0 表示干扰因素对条件方差的影响是均衡的[14-15]。

对TGARCH模型杠杆效应进行分析，参数估计如表3所示。

表3 TGARCH杠杆效应检验Tab.3 TGARCH leverage effect test

由表3 可知，ARCH 项和非对称项对应的P 值均大于0.05。因此，存在杠杆效应。同时可知，运用TGARCH模型的AIC=6.807 12。

3.2 EGARCH效应检验

Nelson[16]在GARCH 模型假设的基础上，引入EGARCH 模型，重新构造了非对称的模型，对参数的非负约束条件进行了放松，并将条件方差表示为对数形式，即：

式（22）中：εt-1为随机干扰项；为随机干扰项的方差；ω、β、α、γ 均为决定性参数。

因为采取了对数形式的变换，所以条件方差不会出现负值。对EGARCH 模型进行参数估计和显著性检验，结果如表4 所示。由表4 可知，该模型的AIC=6.825 296。

表4 EGARCH效应检验Tab.4 EGARCH effect test

3.3 PGARCH检验

建立PGARCH模型并检验其GARCH效应。

PGARCH 模型主要用于解决具有周期性特征的时间序列预测问题。当不具备周期性特征时，则PGARCH 模型就是GARCH 模型。也就是说，GARCH 模型其实是PGARCH 模型的一种无周期性特征的特殊形式。这里将GARCH( )1,1 拓展为PGARCH，用以比较2 个模型对舰船器材消耗量预测精度的优劣。

设{ Xt} 为时间序列数据集，如果存在周期为S 的PGARCH(p,q)，则：

式（23）、（24）中：σ2为随机干扰项的方差；误差序列{εt} 服从独立同分布；ωt、αt,i、βt,j均为周期S 的函数。

首先，进行系数梯度变化情况分析，如图6 所示。由图6可知，系数的梯度，在2017年下半年开始C（1）、C（2）趋于平稳，C（3）、C（4）变化幅度减小，但是还是有一定的变化的[17]。更多阶数的系数及数据序列的参数估计情况，如表5所示。由表5可知，时间序列没有明显的周期性。因此，不适合建立PGARCH模型来对舰船器材消耗情况进行预测，且运用该模型的AIC=6.986 452，值也是比较大的。

图6 系数的梯度变化情况图Fig.6 Diagram of the gradient variation of coefficients

表5 PGARCH模型参数估计表Tab.5 Parameter estimation of PGARCH model

3.4 模型比较优选

按照模型优劣比较的AIC 准则，可以通过比较GARCH 族各个模型的AIC 值大小来确定终选模型。在上述讨论的模型中，GARCH(1 ,1) 的AIC值最小，滞后阶数最少，便于求解，预测精度高。因此，可以确定GARCH(1 ,1) 为消耗量预测的最优模型[18-20]。

4 实例分析

以舰船器材2015年至2019年的消耗量数据序列为研究对象，运用GARCH(1 ,1) 模型，对2020 年上半年可能的消耗量进行预测。舰船器材消耗量GARCH值的变化趋势，见图7。由图7 可知，GARCH 值随着时间总的变化趋势是趋于平稳的。因此，可以运用上述所构建的GARCH(1 ,1) 模型进行消耗趋势预测。2020年上半年的消耗量变化趋势情况，如图8所示。

简化后模型为：