巧构图形 妙解试题

郑 良 邹 峰

(安徽省合肥市第四中学,230000) (湖北省武汉职业技术学院商学院,430074)

本文以竞赛、自主招生中的部分试题为例,由代数表示联想到其几何意义,通过构造图形,使复杂问题得到直观、生动的解决.

一、构造线段,利用两点之间线段距离最短

评注由表达式的几何意义联想余弦定理,构建三角形模型,使问题顺利获解.

评注本题将例1中的c换成b,b换成x,同时将x的范围从正数扩充到全体实数(非正数显然不满足题意),改变的是形式,不变的是本质.值得注意的是,条件中的x并非点C的横坐标,而是有向线段OC的数量.

证明依题意,b+c>a,c+a>b,a+b>c,作以b+c为边长的正方形A1A2A3A4,在边上分别取点B1,B2,B3,B4如图4,使A2B1=A3B2=A3B3=A4B4=a,则有B1B3=b+c,A2B2=b+c-a.

二、构造线段,利用两边之差小于第三边

三、构造向量,利用等和线

评注解法1由圆的参数方程将11λ+9μ表示为θ的函数,问题转化为求函数的最值;解法2基于共线向量定理改换基底,利用几何意义直奔目标.

例7(2020年浙江省初赛题)设平面上三个单位向量a,b,c不共线,满足a+b+c=0,若0≤t≤1,则|-2a+tb+(1-t)c|的取值范围为______.

评注先用向量的三点共线定理确定点D的轨迹,再结合向量的减法将求解目标的几何意义直观呈现,结果水落石出.

四、构造圆,利用两点间距离

五、构造三角形,利用三角函数关系

例9(2019年加拿大数学奥林匹克试题)求值:

(1)4sin 40°-tan 40°;

(2)4sin 20°+tan 20°.

评注本题两问直接用化弦法求值也不困难,而用构造图形求值拓宽了我们的解题思路,能深化对问题的认知,有利于培养思维的创新性与灵活性.