“切”中要害 纠错防错*

许雪荣 黄贤锋

(江西省萍乡中学，337000)

函数方程(不等式)问题是高中数学中的热点、难点问题.其中有一类问题可转化为直线l与曲线y=f(x)的位置关系问题,再利用数形结合思想解题.笔者发现,这类问题若不去关注l与曲线y=f(x)相切的临界情形,易出现错解、漏解.本文从一道错题开始,谈谈切线在这类问题中的纠错、防错功能,不当之处,敬请各位同仁批评指正.

一、 问题呈现

试题设函数f(x)=(x+1)ex+1+mx,f(x)≤0有且仅有一个整数解,则m的取值范围是( )

这是一道高三模考的压轴题,不难发现本题改编自如下的2015年全国新课标I卷理科第12题(不妨称为源题).

源题设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )

模考题的参考答案为D. 事实上,该题没有正确选项.

二、 试题辨析

先看一看命题者提供的参考答案.

错解令g(x)=(x+1)ex+1,h(x)=-mx,只需满足仅有一个x0∈Z使得过原点的动直线y=h(x)的图象在y=g(x)的图象的上方.

剖析该解法看似毫无破绽,无懈可击,不少参考答案对题源的解答也与上述解法类似.笔者觉得此类解法欠妥,因为整数解x0不一定在g(x)的最小值附近,这两道题与曲线y=g(x)图象的切线位置有很大关联.如图2考虑过原点作y=g(x)图象的切线,易知这样的切线有两条,只需将切线位置适当移动就会满足题意,由此得下面的正解.

通过以上分析我们发现,切线在解题中起到了重要的作用.下面再举几例,谈谈切线在这类问题中的防错功能.

三、 应用举例

剖析以上解法很好地把握了函数的单调性,也关注了双曲线的渐近线,但对于y=-ln(1-x),x<0的图象把握不够准确,忽略了y=kx与之相切的情况,误以为当k→+∞时总会有两个交点.

例3不等式ex-x>ax的解集为M,且(0,2]⊆M,则a的取值范围是______.

剖析如图7,我们很难确定线段OA与y=ex,x∈(0,2]是不是有其它的交点,需要考虑过原点且与y=ex相切的直线的切点的横坐标是不是在区间(0,2]内.

正解考虑过原点与y=ex相切的直线,设切点P(x0,ex0),则切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),将原点坐标代入方程,解得x0=1∈(0,2].

如图8,由切点P(1,e),可知切线为y=ex,从而a+1

四、 一点感悟

数形结合是一种重要的数学思想,在使用时应该正确地处理“数”与“形”的关系.本文中错解的产生都是因为过分依赖“形”的几何直观,而忽略了“数”对规范“形”的作用;正解中通过代数运算求出曲线的切线方程,从而更加精确地把握了对“形”的判断.解题时要牢记华罗庚先生说过的“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”惟有将“结合”二字落到实处才能快速准确地解题.