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基于不动点理论及其应用的研究

2020-10-30窦瑞

科学导报·学术 2020年42期

窦瑞

摘  要:本文主要针对不动点理论起源于方程论的研究,利用不动点分为代数型不动点,做了拓扑型不动点和混合型不动点。Banach压缩映像原理,Schauder不动点定理(Brower不动点定理的推广)及Krasnosel'skii不动点定理是最知名的不动点原理。首先在本科多个学科中Banach压缩映像原理都有重要的应用,其次常微分方程中经典的Picard迭代法的经典表述,微积分中多元函数隐函数存在性理论,数值分析中高阶线性方程组存在性理论等等,最后Schauder不动点定理在常微分方程理论微分方程解的一般存在性定理(Peano定理)的证明等等。

关键词:压缩型映像;Schauder不动点;Peano定理

引言

本文主要简述了不动点理论的历史背景和发展,重要的不动点理论的证明(Schauder不动点定理的不完全证明,一类特殊压缩型映像不动点的存在/唯一性),阐述了毕氏条件与Peano条件下,结合Arzela-Ascoli定理,利用不动点原理解释微分方程的解的存在性理论,并进一步实例利用Picard迭代序列(本质上是寻找不动点的迭代序列),逼近方程的唯一解,编写Matlab程序数值实现。拓扑型不动点定理严格来说是不动点的存在性定理;而代数型不动点定理不仅建立不动点存在性条件,而且给出寻求不动点的具体方法。

1、不动点理论历史背景

数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程,积分方程等等,尤其到近现代各个数学分支的不断发展,方程种类繁多,形式各异。但是它们常能改写成?(x)=x的形状,这里x是某个适当的空间Χ中的点,?是从Χ到Χ的一个映射或运动,把每一点x移到点?(x)。方程?(x)=x的解恰好就是在?这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点。于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。

定义1:设X为一集合,映像,若存在使得,那么就称是映像T的不动点。

定义1.1:设X为一集合,集值映像,若存在使得,那么就称是集值映像T的不动点。

Banach压缩映像原理,Schauder不动点定理(Brower不动点定理的推广)及Krasnosel'skii不动点定理是最知名的不动点原理。在本科多个学科中Banach压缩映像原理都有重要的应用,比如经典的Picard迭代法的经典表述,多元函数隐函数存在性理论等等。在很多实际问题中,压缩映象的条件过强,就有了‘扩张‘非扩张‘平均非扩张映象等,随着不同数学分支的发展,不动点理论逐渐丰富。

2、重要的不动点定理的证明

2.1 三个重要的不动点定理

(1)(Brouwer)拓扑不动点定理

Χ是中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。

Corollary

,(其中是闭球体),则

(2)(Banach)代数不动点定理

X是完备的度量空间,记是压缩型映像,即满足

则。

Corollary

存在唯一不动点,那么T也存在唯一不动点,并与之相同。显然如果如果是压缩映像,T自然存在唯一不动点,即

(3)(Kakutani)混合型不动点定理

设C是Rn中的紧凸集,f为从C到C的非空凸子集的上半连续的点-集映射,则至少存在一点x*,使得x*∈f(x*)。

2.2  Schauder不动点定理的不完全证明

Brower不动点定理是著名的拓扑型不动点定理,与他相关的还有有趣的hairy ball throrem(毛球定理)。它的证明大部分涉及到代数拓扑中基本群理论知识,在[3]中P286给出一个"2D Brower Fixed Point"的证明,当然有纯分析甚至初等的证明,参见J.Milnor,Analytic proofs of the "hairy ball throrem"and the Brouwer fixed point theorem,Anar.Math.Monthly,Vol.85 No.T(1978),521-524,J.Franklin,Methods of Matlematical economics. p.232-246,Springer Verlag. 在本节利用Brower不动点定理来证明其推广的Schauder定理-张恭庆老师的泛函分析讲义。

Schauder[2]不动点定理:

设C是线性赋范空间X中的一个闭凸子集,若 连续且T(C)连续且T(C)列紧,则T在C上必有一个不动点。

证明之前,我们先做些准备。

(Def 2.2.1)[2,14]

设M是(X,d)中的一个子集,N包含于M,如果,那么称N是M的-网。如果

① N是有穷集合(依赖于给定),那么称N是M的有穷-网

②,都M都存在一个有穷-网,那么称集合M完全有界。

(Th 2.2.1)

(Th 2.2.2)

设(X,d)是度量空间,且M包含于X,则

(注意在一般拓扑空间中紧—>闭)

Pro:

现在分三步来证明Schauder不动点定理(摘自张恭庆-泛函分析讲义[2])

① 因为T(C)是列紧集,所以对

(记)

② 作的映射如下:

因为

综上可以得知元素的凸组合,从而,而且

(1)

(3)注意到 ,而C是凸的,所以co(Nn)包含于C,令

注意到是En 中的一个有界闭凸子集,那么由Brower不动点定理

(2)

又因为T(C)是列紧集而C是闭集,所以存在子列nk 及

(3)

联合(1)和(2)得到:

(4)

结合T的连续性以及(3)和(4)可得到:

3、不动点应用实例

已知常微分方程初值问题如下:

其中f(x,y)在矩形区域R:    是连续函数,且满足如下条件中的一个,则方程在上有界,其中常数

①(Picard Th)f关于y满足Lipschiz条件,此时解唯一;

②(Peano Th)f只需要满足连续即可

(1)对于Picard 解唯一存在定理,常微分教材上都会有详细的证明,从(Banach)不动点的观点来解决就会显得简洁与深刻。

构造算子T如下:

只需要注意到:

结合具体条件,Banach不动点定理成立的条件满足,问题就得到解决。

结论

不动点理论起源于方程论,同样也丰富了方程求解理论。一般来讲不动点分为代数型不动点,拓扑型不动点和混合型不动点。Banach压缩映像原理,Schauder不动点定理(Brower不动点定理的推广)及Krasnosel'skii不动点定理是最知名的不动点原理。在本科多个学科中Banach压缩映像原理都有重要的应用,比如常微分方程中经典的Picard迭代法的经典表述,微积分中多元函数隐函数存在性理论,数值分析中高阶线性方程组存在性理论等等,Schauder不动点定理在常微分方程理論微分方程解的一般存在性定理(Peano定理)的证明等等。

参考文献

[1]  陈汝栋. 不动点理论及应用[M]. 北京:国防工业出版社,2012.01;2~4页

[2]  张恭庆,林源渠. 泛函分析讲义(上)[M]. 北京:北京大学出版社,2009.03