摇摆双层桥梁地震反应及抗倒塌能力分析

2020-10-29陈敬一杜修力周雨龙

工程力学 2020年10期

陈敬一，杜修力，韩强，周雨龙,2

(1. 北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室，北京 100124；2. 交通运输部公路科学研究院，北京 100088)

随着我国经济建设的迅速发展，交通问题日益严峻，如何高效、合理利用土地资源是城市及山区桥梁建设亟待解决的问题。双层高架桥能在有限区域上实现交通分流和扩容，是一种高效的交通网络解决方案。近年来在我国逐步得到重视和应用，如上海市共和新路桥、大连星海湾大桥引桥、洛塘河高架特大桥以及北京新机场高架桥等。

双层高架桥多采用框架墩的形式，在地震作用下的受力复杂。20 世纪50 年代的美国率先将其应用到实际工程中，但由于当时认知水平和抗震设计方法上的缺陷，所设计的双层高架桥梁抗震性能普遍不足，导致了多次严重震害[1−3]。特别是在1989 年的Loma Prieta 地震中，Cypress 高架桥的倒塌促使双层桥梁的抗震性能得到更多关注。随后，Bollo 等[1]通过试验研究发现Cypress 高架桥的倒塌是由上层柱脚的剪切破坏引起的，Kunnath 等[4]和周艳等[5]通过数值方法进一步验证了Cypress 高架桥的倒塌机理。Priestley 等[6−7]和Mazzoni 等[8]针对Cypress 高架桥的倒塌机理提出了加固方案，并通过模型试验证明了加固方案的有效性。彭天波等[9−10]和张洁等[11]以国内典型双层高架桥梁为工程背景开展了拟静力试验和数值研究。目前，国内外双层桥梁结构设计主要基于延性抗震理念，利用上下层墩柱形成的塑性铰来延长结构周期并耗散地震能量，防止结构在强震作用下发生倒塌，然而这不可避免的会造成桥墩塑性损伤，导致震后桥梁结构难以修复和交通中断。

摇摆结构可将地震损伤控制在摇摆界面内，以避免主体结构破坏，且具有较好自复位能力[12]。因此，与传统延性桥墩相比，摇摆桥墩具有更好的恢复能力，从而减小震后修复成本并缩短桥梁通行功能的中断时间。Mander 和Cheng[13]最早提出了无损伤摇摆桥墩理念，针对摇摆界面加固后的预应力摇摆桥墩抗震性能进行了试验研究，并提出了相应的力-位移关系简化计算公式，试验结果显示该桥墩可避免桥墩主体发生较大损伤且具有较好的自复位能力。随后，国内外学者[14−21]提出了在摇摆桥墩与基础的接缝处附加耗能装置，来提高预应力摇摆桥墩的耗能能力，并通过试验和数值研究验证了该类桥墩的抗震能力。基于上述研究成果，附加耗能装置的预应力摇摆桥墩在我国黄徐路跨京台高速高架桥[22−23]和新西兰的Wigram-Magdala 跨线桥中得到了工程应用。

图1 双层桥梁结构Fig.1 Double-deck bridge

基于摇摆理念，作者提出一种如图1(b)所示的下层摇摆的双层桥梁结构，下层桥墩分别与下层盖梁和承台通过无连接措施形成摇摆界面，上层结构仍为现浇结构。在墩柱顶端和底端设置钢套筒包裹，在盖梁和承台的摇摆界面上设置钢板，以限制其塑性损伤，并设置挡块来限制桥墩滑动。在横桥向地震作用下，下层桥墩的摇摆隔震可减小上层结构的惯性力，进而避免上层结构的塑性损伤。本文以摇摆双层桥梁结构为研究对象，采用拉格朗日方程和动量矩定理建立了可计算该类摇摆桥梁结构动力反应的刚体分析模型，分析了该类结构在远场地震动和脉冲近场地震动作用下的位移反应，探讨了桥墩宽高比，桥墩尺寸参数等模型参数对结构地震反应的影响，并采用Ricker 小波分析了结构的抗倒性能力，为采用摇摆理念的双层桥梁结构抗震设计提供参考和依据。

1 动力分析模型

1.1 运动学方程

根据单层双柱式摇摆桥梁结构的振动台试验研究[24]和理论分析[25−27]可知，图1(b)所示的下层摇摆结构的动力行为可近似简化为如图2 所示的平面内刚体运动。忽略上层结构的塑性变形，将其简化为一个弹性单自由度体系。如图2(a)所示，当施加一个向右地震动激励，摇摆桥墩将初始向左摇摆，此时桥墩转角θ<0；如图2(b)所示，当地震动激励反向时，桥墩与承台和盖梁之间发生碰撞，且碰撞后摇摆桥墩向右摇摆，此时桥墩转角θ>0。

图2 摇摆双层桥梁结构的刚体运动Fig.2 Rigid motion of double-deck rocking bridge system

根据图2 所示的几何关系可知，当下层桥墩摇摆时，下层主梁仅发生平面平动，且其水平位移u1和竖向位移w1可由下层桥墩转角θ 表示为：

式中：α 为墩高和对角线的夹角(桥墩宽高比)，α 顶部符号对应θ>0，α 底部符号对应θ<0；R为桥墩对角线长度的一半(桥墩尺寸参数)。

将下层桥墩转角θ 和上层主梁的水平相对位移u2作为广义坐标，可由式(3)和式(4)所示的Lagrange 方程推导出该类摇摆桥梁结构的运动方程。

式中：T为体系动能；V为体系势能；Qθ和Qu2分别为对应广义坐标θ 和u2的广义力。

双层桥梁结构体系的动能T为：

式中：m1为下层主梁质量；m2为上层结构质量；I为桥墩绕转动点的转动惯量，I=4mcR2/3；w1为下层主梁的竖向位移；Nc为下层桥墩数量。

双层桥梁结构体系的势能V为：

将式(5)、式(6)和式(8)代入式(3)中得到摇摆双层桥梁体系关于上层主梁水平位移u2的运动方程为：

式中，ωs和ξs分别为上层结构固有频率和阻尼比，其表达式分别如下：

将式(5)、式(6)和式(9)代入式(4)中得到摇摆双层桥梁结构体系关于下层桥墩转角θ 的运动方程为：

式中：η 为上下层结构质量比；γ 为下层主梁与墩柱质量比。可表示为：

1.2 桥墩角速度折减系数

当桥墩摇摆方向发生变化时(即θ 变号)，摇摆桥墩将分别与盖梁和承台发生碰撞(图3)，而式(11)和式(14)所示的运动方程仅适用于θ≠0 的情况。Housner[12]提出采用角速度折减系数来考虑摇摆结构碰撞前后能量的变化，以代替复杂碰撞过程，该方法被广泛应用于摇摆结构的动力反应分析中[25,27−29]。Kalliontzis 等[30]总结归纳了采用常规土木工程类材料的摇摆结构试验结果，得出该方法对于高宽比大于3 的摇摆墩柱具有较好的适用性。

当假定桥墩不发生滑动且为完全非弹性碰撞时，桥墩角速度折减系数可根据动量矩定理得到。碰撞前，单个桥墩对于转动点O的角动量Hc1为：

图3 摇摆桥梁的碰撞过程Fig.3 Impact process of rocking double-deck bridge system

式中： θ˙1为碰撞前的桥墩角速度；IO为桥墩绕O点的转动惯量。

碰撞后，单个桥墩对于转动点O'的角动量Hc2为：

式中： θ˙2为碰撞后的桥墩角速度；IO'为桥墩绕O'点的转动惯量。

当下层结构主梁与桥墩的接触点由点P'变成点P(桥墩转动点由O变成O')时产生了碰撞力，定义碰撞力水平分量和竖向分量分别为Fx和Fy。当桥墩发生摇摆时，假定下层主梁为刚体而仅发生平动，因此可得每个桥墩的碰撞力是相等的。在碰撞前后的主梁在水平向和竖向的线动量的变化量分别为：

1.3 模型的验证

为验证本文提出的摇摆双层桥梁结构分析模型的适用性，基于MATLAB 程序对周雨龙等[25]的单层双柱摇摆桥梁分析模型(η=0)和Makris 和Konstantinidis[31]的单柱分析模型(γ=0，η=0，Nc=1)的动力反应结果进行对比。单层双柱摇摆桥梁的模型参数α=0.22、R=3.0 m、γ=15，单柱的模型参数为α=0.2618、R=1.8375 m。图4(a)和图4(b)所示分别为本文模型与单层双柱桥梁模型和单柱模型动力反应的时程对比，由图4 可知，本文建立的动力分析模型可较好地模拟摇摆结构的动力反应。

2 地震反应分析

2.1 地震反应分析

为研究摇摆双层桥梁结构在实际工程中的抗震能力，本节以采用常规双层桥梁结构尺寸的摇摆双层桥梁为研究对象。双层高架桥的上层和下层主梁均为预应力钢筋混凝土箱梁，标准跨径30 m；桥墩为双层框架式桥墩。如图5 所示，该桥墩上层立柱高为8.5 m，下层立柱高为12.5 m，桥墩上、下层立柱截面不同，上立柱截面为1.8 m×1.6 m，下立柱为2.0 m×1.8 m；横梁与立柱同宽，下横梁高1.8 m；上横梁跨中高1.6 m，上、下立柱纵筋配筋率分别为2.46%和2.74%。下层结构质量约为1000 t，上层结构质量约为1160 t，下层结构墩柱总质量约为364 t。可得该结构体系的模型参数为α=0.15，R=6 m，γ=2.745，η=1.16，ωs=20.686 rad/s，ζs=0.01。选用远场地震动Kocaeli(1999)和Loma Prieta(1989)以及大脉冲近场地震动Imperial Valley(1979)的加速度记录的N-S 分量作为输入加速度。

图4 本文模型与参考模型时程结果对比Fig.4 Comparison of the time history response between the analytical model and reference model

图5 双层桥梁 /cm Fig.5 Typical double-deck bridge system

根据公路桥梁抗震设计细则[32]，将加速度的峰值调整为0.408g(E2 地震水准、III 类场地和8 度设防烈度)。采用本文建立的刚体动力分析模型计算结构的地震反应如图6 示，由图可知，Kocaeli地震动、Loma Prieta 地震动和ImperialValley 脉冲近场地震动作用下的下层主梁位移峰值分别为10.2 cm、12.1 cm 和22.6 cm(漂移率分别为0.8%，1%和1.8%)，上层主梁相对位移峰值分别为2.2 cm、2.3 cm 和2.0 cm。可见，上层主梁相对位移较小，未发生塑性变形(屈服位移约为5 cm)，这是由于下层摇摆桥墩起到了隔震效果，减小了上层结构的惯性力；在脉冲近场地震动作用下结构的下层主梁位移反应更明显；通过静力倒塌极限状态(θ=α)[33−34]判断摇摆双层桥梁结构均未发生倒塌，满足了我国桥梁抗震设计规范中E2 地震的抗震需求。

图6 双层桥梁地震反应Fig.6 Seismic response of rocking double-deck bridge system

2.2 参数分析

以上文中的摇摆双层桥梁结构作为基准模型，分析桥墩宽高比α，桥墩尺寸参数R，上层结构固有频率ωs，上下层质量比η 和梁墩质量比γ模型参数对其地震反应的影响规律。从FEMA[35]推荐的地震动中选取12 组远场地震动和12 组脉冲近场地震动，每组地震动包含两条水平分量，主要信息如表1 所示，其加速度峰值统一调整为0.408g。

表1 地震动记录Table 1 Recorded ground motions

图7 下层主梁位移Fig.7 Displacement of the lower girder

摇摆结构在某些地震动作用下可能发生倒塌，致使倒塌情况下结构的计算位移远大于未发生倒塌结构的位移，因此本文中采用结构峰值位移的中位值作为参数分析的指标。图7 为各模型参数对下层主梁地震位移反应影响的分析结果。从图中可以看出，下层主梁位移随着α 的增加呈现出下降的趋势，且在α 较小时(α=0.15～α=0.18)下降趋势较为明显；下层主梁近场位移反应随R的增加呈出较为缓慢的下降趋势；下层主梁近场地震位移随着ωs、η 的增加呈现出先减小后增加的趋势，其中ωs=30 时，主梁位移值约为37 cm，η=1.5 时，主梁位移值约为33 cm；下层主梁近场位移反应随着γ 的增加呈现出先减小后增加的趋势，其中γ=5 时，主梁位移约为41 cm。图8 为各模型参数对上层结构相对位移影响的分析结果。由图可知，上层结构相对位移随着α 的增加呈上升的趋势；ωs的增加使得上层结构的相对位移呈现出较明显的下降趋势；R、η 和γ 对上层结构相对位移反应影响不大。图9 为各模型参数对的结构倒塌工况数量影响的分析结果。由图可知，增加α 和R可减小结构发生倒塌的次数；脉冲近场地震动作用下，结构的倒塌工况随固有频率ωs的增加而增加，随梁墩质量比γ 的增加而减少。

综上可知，摇摆双层桥梁结构在脉冲近场地震动作用下位移反应大，且更易发生倒塌；桥墩宽高比α 的增大会使得结构的地震反应明显减小，结构的倒塌工况数量随着宽高比α，桥墩尺寸参数R的增加而减少；在近场地震动作用下，减小ωs或增大γ 使得结构倒塌的工况数量减少。

3 倒塌分析

通过上文分析可知，双层摇摆结构在脉冲近场地震作用下易发生倒塌。因此，有必要对摇摆双层桥梁结构在脉冲近场地震动作用下的抗倒塌能力进行分析。

图8 上层结构相对位移Fig.8 Relative displacement of the upper structure

3.1 脉冲型地震动的数学模型——Ricker 小波

Ricker 小波[36−37]可较好的定性和定量的表征近场地震动的显著大脉冲特性[38−40]，并且可以实现脉冲型地震动所造成的结构非线性变形[41−42]。因此，本文采用对称和非对称Ricker 小波来模拟脉冲近场地震动。

对称Ricker 小波的表达式为：

式中：ag为Ricker 小波加速度幅值；Tg和ωg分别为Ricker 小波的傅立叶谱最大值对应的周期和频率，且Tg=2π/ωg。

类似地，非对称Ricker 小波的表达式为：

式中， β取1.38，以使表达式的最大值等于ag。图10(a)和图10(b)分别为对称Ricker 和非对称Ricker 小波的波形图，其中ag=0.4 g，Tg=1.5 s。

3.2 无量纲化模型

摇摆双层桥梁结构在脉冲加速度时程作用下的桥墩转角反应可表示为：

式中含有11 个变量，根据Buckingham-Π 理论对式(25)进行简化[43]，则可用8 个无量纲化的参数对问题进行求解。本文选择脉冲函数特征量ωg，ag作为无量纲化量，其余变量为Πω=ωg/p，Πg=αg/g，Πα=tanα，Πt=pt，η，γ，ωs，ζs，则桥墩转角可表示为：

图9 摇摆双层桥梁倒塌工况数量Fig.9 The number of overturning of the rocking double-deck bridge

图10 Ricker 小波对脉冲近场地震动的模拟Fig.10 Simulation of near-field earthquake by Ricker wavelet

式中：p为摇摆桥墩的频率参数，p2=3g/4R，τ=pt。摇摆双层桥梁结构在水平加速度作用下的动力反应可通过联合求解式(11)和式(14)获得，结合式(22)对角速度进行折减可考虑碰撞时的能量损失。

为验证本节无量纲化方法的有效性，采用表2中的模型参数分别建立三个摇摆结构，其中η=1.0，γ=5.0，ωs=20 rad/s，ζs=0.01，分别计算了对称Ricker小波和非对称Ricker 小波作用下的结构动力反应。图11(a)所示为对称Ricker 小波作用下三个摇摆双层桥梁结构的桥墩转角时程，图11(b)所示为对应的无量纲桥墩转角时程；图12(a)所示为非对称Ricker 小波作用下三个摇摆结构的桥墩转角时程，图12(b)所示为对应的无量纲的桥墩转角时程。从图中可看出，参数不同的三个摇摆结构在对称Ricker 小波和非对称Ricker 小波作用下的无量纲反应几乎一致，证明了方法的有效性。

表2 结构的无量纲化Table 2 Dimensionless of structures

图11 对称Ricker 小波作用下桥墩转角反应的无量纲化Fig.11 Dimensionless of the rotation response of columns subjected to the symmetry Ricker wavelet

图12 非对称Ricker 小波作用下桥墩转角反应的无量纲化Fig.12 Dimensionless of the rotation response of columns subjected to the asymmetry Ricker wavelet

图13 Ricker 小波作用下的倒塌加速度谱Fig.13 Overturning acceleration spectra due to Ricker wavelet

3.3 倒塌加速度谱

图13(a)和图13(b)分别为对称和非对称Ricker小波作用下的摇摆双层桥梁结构的倒塌加速度谱，其中结构参数取值与上文中的实际工程一致。图中深色区域为结构发生倒塌的区域，下侧横轴坐标为Ricker 小波的激励频率ωg，左侧纵轴为加速度幅值ag/g，上侧和右侧坐标分别为无量纲后的频率坐标和幅值坐标。从图中可以看出：在频率接近为零时，在对称和非对称Ricker 小波作用下的最小倒塌加速度分别为0.152g和0.158g；结构发生倒塌的幅值ag/g随着激励频率ωg的增大而增加。

在一定频率范围内，结构倒塌加速度谱存在加速度幅值大于最小倒塌加速度幅值却未倒塌的加速度区域，在对称Ricker 小波的倒塌谱中区域频率段为1.36 rad/s～2.23 rad/s，在非对称Ricker 小波的倒塌谱中区域频率段为1.68 rad/s～3.16 rad/s，且非对阵Ricker 小波的倒塌加速度谱中更为明显。在对称Ricker 小波的结构倒塌谱中，激励频率ωg=2.23 rad/s 对应的结构最小倒塌加速度幅值为0.324g，而结构在加速度幅值为0.360g时并未发生倒塌，其相应的时程曲线如图14(a)所示。在非对称Ricker 小波的结构倒塌谱中，激励频率ωg=3.16 rad/s 对应的结构最小倒塌加速度幅值为0.331g，而结构在加速度幅值为0.500g时并未发生倒塌，其相应的时程曲线如图14(b)所示。图14还揭示了结构的两种倒塌模式，模式I 是桥墩碰撞后发生倒塌，而模式II 是不发生碰撞直接倒塌。由图可见，在相同的激励频率下模式I 的倒塌加速度幅值较小(对称Ricker 小波：ag=0.324g；非对称Ricker 小波：ag=0.331g)，而模式II 的倒塌加速度幅值较大(对称Ricker 小波：ag=0.380g；非对称Ricker 小波：ag=0.634g)；加速度的幅值位于倒塌模式I 和倒塌模式II 之间的结构是发生多次碰撞而不倒塌(对称Ricker 小波：ag=0.360g；非对称Ricker 小波：ag=0.500g)。综上，这两种倒塌模式的过渡使得结构存在大于最小倒塌加速度但不发生倒塌的加速度区域。

图15～图19 分别为在对称Ricker 小波和非对称Ricker 小波作用下桥墩宽高比α、桥墩尺寸参数R、上层结构固有频率ωs、上下层质量比η 和梁墩质量比γ 等模型参数对结构的倒塌加速度谱影响的分析结果。从图中可以看出，增加α 和R可以明显增加结构的抗倒塌性能，而ωs、η 和γ 对于结构的抗倒塌性能影响不大。