在游戏中经历数学建模的过程——以“点与数”的教学为例

朱燕锋，宋怡楠

(杭州市萧山区万向小学，浙江杭州，311215)

游戏除了娱乐还有什么功能？人在玩游戏时会沉浸其中，反复尝试着各种失败与成功，经历富有探索性的愉快过程。在数学游戏过程中，儿童可以更深刻地理解数学的内涵，感悟数学的思想方法，在获得灵活性、严谨性、发散性思维的过程中发展数学核心素养。数学游戏化学习就是把游戏思维和数学学习结合起来，在学中玩、玩中学，让游戏属于儿童，让数学帮助儿童成长。

进行数学游戏化学习的关键在于根据内容设计合适的数学游戏，从教学内容中提取可以发展的数学素养，从而在内容、目标与游戏之间建立联系。笔者在教学“点与数”时，为了让学生理解二进制与十进制的位值原理，选取棋子与方格作为游戏道具，制订了一定的规则，让学生在游戏体验中经历二进制建模的过程，在愉快的氛围中掌握一定的数学思想方法，锻炼思维的灵活性。

一、在观察发现中寻找数学模型

数学游戏根据教学内容的不同大致可以分成五种类型：熟悉操练型、观察发现型、策略感悟型、经验积累型、智能发展型。观察发现型的数学游戏指向数学规律的探究和发现，通过游戏感悟数学现象蕴含的数学原理。在“点与数”的教学中，笔者首先以棋子移动为点，不同方格为值，利用游戏让学生通过观察、比较、分析、推理的方式寻找长方形方格中点与数之间的规律，建构模型，并尝试运用模型去表示任意自然数。

(一)读图观察，寻找摆数规则

观察是学生学习的起点，简单的方格摆数游戏吸引了学生的注意力，给学生提供了学习数学的问题情境，让学生的眼、耳、口、手等多种感官系统参与其中，在读图观察中经历规则解读和规律探究的过程。

1.激趣导入，揭示课题

教师直奔主题，揭示课题“点和数”游戏，明确游戏规则：第一，每个方格里只放一颗棋子；第二，不同位置的棋子表示不同的数。教师在学生读懂游戏规则后，明确指出游戏玩法就是用棋子在方格图上摆出不同的数。

2.读图观察，探讨规律

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“要培养学生直接从图中搜集、分析和处理信息的能力。”因此，教师在教学中要培养学生学会从数学的角度观察画面，从中选择有用的数学信息，找出规律，解决问题。

图1 摆数图

教师出示摆数图(图1)，提问：“会玩这个游戏吗？我们一起来看看游戏摆数规律，你看懂了吗？”根据学生的回答，教师明确：把右边的数叫作前，左边的数叫作后，后一格的数=前一格的数×2。

师：能用算式表示上面的数吗？

生：1，1×2，2×2，4×2。

师：还能用其他方式表示这些数吗？

生：20，21，22，23。

师：用次方表示的，真厉害！如果把这个棋子放到第五格，表示几？你会怎么表示？

生：2×2×2×2。

师：我们还可以写成“24”，读作2的4次方。

数学模型是对实际问题的一种数学表述，读图之后对点的摆数规律的描述，开启了数学模型的探究。这时教师就要把这颗棋子放到第七格，引导学生观察它表示几，能否用算式表示。有部分学生说是32，因为第七格表示5个2相乘。教师依次数出第七格的位置，追问：“第七格到底是几个2相乘？”学生恍然大悟，第七个格子的点表示64，因为是6个2相乘。

(二)深究规律，初见模型

模型建立始于规律的探究过程，是在寻找更多规律中发现问题、寻找策略、形成解释、获得结论，亲历模型的形成过程。

1.再探规律，明晰方格数值

教师继续引导学生发现更多的规律并适时形成结构模型。学生在进一步探究中就会发现方格上的数等于2的格数减一次方。

师：99格上的数算式如何列？

生：98个2相乘。

师：200格上的数算式如何列？

生：199个2相乘。

师：第n格呢？

生：2n-1。

在教学中，教师不是盲目地带领学生去学习二进制，而是着重用位值的思想去玩这个游戏。对于能用这样简洁的方式表达这条规律、形成格子的数值理解的学生，教师要加以表扬。

2.对比发现，解读数值表示

学生读图观察，一个点的大小已经和对应方格上的数值建立联系，那么如何用更多的点来表示更多的数呢？这就需要学生进一步探寻、解读数值的含义。

教师出示图2并问学生又发现了什么。

图2 更多不同的数的摆数图

生：都是加起来的(多个点表示的数是所在点位置数的和)。

师：你能用算式来表示吗？

生：1+2=3，1+2+4=7。

教师明确可以组合不同位置的棋子表示更多不同的数，并进一步让学生辨析刚才用一颗棋子表示了8，那么8可不可以用多颗棋子表示？

生：8只有这一种摆法，因为右边三个格子最大只有7。

从一点到多点，利用点子与格子的位置关系建立大小关系，引导学生体验和感悟数学规律和思想。教师在教学中要着重引导学生理解位值的思想，让学生在对比中明白不同位置的方格代表不同的数，同一位置的方格代表相同的数，尤其是在出现进位时，如何顺利找到进位后的数所在的格。

二、在经验积累中分析数学模型

活动经验的积累对于分析数学现象、揭示数学本质尤为重要。学生在游戏活动过程中所获得的直接或间接的体验，是要靠学生经过反复实践、 独立思考、同伴互助、合作交流感悟出来的。学生在积极参与各种活动的过程中，完成了知识的学习和构建，真正地了解了获取知识的价值和意义。在教学中，笔者让学生在方格上用棋子摆各种数，找出方格背后二进制数的数值规律，如图3。

图3 “点和数”游戏现象和本质

(一)操作体验，交流策略

教师向学生讲明操作要求后，学生拿出信封中的棋子，在操作单上摆出自己喜欢的数。学生在操作体验后介绍自己的摆数方法。

教师投屏展示学生摆的数，与学生一起交流、分享，在摆数的时候标出每一格，帮助学生快速找到棋子表示的数。同时，教师还要求学生利用算式表示自己摆数的想法。

(二)分享经验，揭示本质

把数和形结合起来，就能够建立抽象的数学概念与形象的图形之间的联系。教师心中想一个数，如25，问学生会怎么摆，摆在哪里，用到几颗棋子。

生：因为25是奇数，所以要选1。

师：通过分析奇偶性你找到了1，16和8你是怎么找到的？

生：16+8=24。

师：哦，找到了这两个格子。那你们想16这个格子为什么要用到？说说你的理由。

生：16前面的格子全部加起来最大只有15，比16小1。16+8+1=25。

师：25太简单了哦，来个难的，252，想一想会在哪几格？会用到哪几颗棋子？

师：我发现了一个小细节，你们都没有看到呀！

生：我多画了一个格子。

数学教育家波利亚说：“学习任何知识的最佳途径都是由自己发现的。”在摆数活动中，学生发现7格不够。“不够是什么意思”的分析是学生对不同格子表示不同的位值的模型理解。在模型构建中，教师引导学生用不同的方法和角度来思考和解决问题。一开始，学生在格子上从右往左依次摆数，得出1+2+4+8+16+32+64+…，利用不断逼近的方法排除4来寻找252。也有学生用到十进制数中的凑整方法，先找到与252最接近的位值是256，右边7个格子的点数之和就是256-1=255，利用255-2-1=252。当然，也有学生先找128，再利用倒着算的方法得出128+64+32+…，从而不断寻找接近目标数的格子。教师在这个过程中，应引导学生观察、思考，发现其中的规律，把握数学本质，有效构建二进制位值的数学模型。

(三)再次活动，应用模型

摆数活动一：对于252想到了这么多方法，那么155你能不能想到好方法？比一比谁快。

方法交流：因为155-128=27，27-16=11，11-8=3，3-2=1，1-1=0，所以155=128+16+8+2+1。

摆数活动二：现在不比方法，比速度，比谁用最快的速度摆出125。

方法交流：因为128-1=127，127-2=125，125可以表示摆满右边6格减去第2格即可。

数学的发现和发展是一个应用的过程。模型思想注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题。学生在数形结合中感悟数的大小关系，在灵活适切的教学活动中提升思维能力。学生在摆数中边摆边说自己的想法，在数的组成中通过有序思考，对二进制数位值的表示能力有了更大的提升，策略意识也逐步显现。

三、在智能发展中实现模型迁移

数学的本质是思维。学生在游戏的过程中因思维的发展而获得智能的进阶，可以说是数学游戏教学的目标与追求。在学生对游戏中的规律和位值有了初步理解，并建构了模型之后，教师有必要进一步深化教学方式，使学生在学习中学会灵活运用，举一反三，实现模型迁移。

如图4，教师出示另一种摆数图，引导学生仔细观察，四人小组在合作讨论摆数规律的基础上，再在操作纸上摆出自己心中的数，并进行交流。

图4 另一种摆数图

师：谁能上来摆一摆？猜一猜你摆的数表示几。(一学生上台，在最左边摆满4个棋子)

生：他摆的数是96。因为从右往左第一列每格表示1，第2列每格表示2，第三列每格表示6，第四列每格表示24，4格就是96。

师：这个摆数图和刚才的摆数规律不同，两者又有什么相同的地方？

生：从这两种摆数图中我们都可以表示出自己想要的数，而且每个数的表示方法只有一种，不会重复。

数学模型的解释和应用，不是将模型看作确定的算法或思维程序进行机械的记忆、复述与应用，而是将数学模型作为学生向更高层次跳跃的平台，为发展学生数学思维提供了更大的可能。在几颗棋子、几行格子变化的摆数挑战中，学生的观察能力、迁移能力、逻辑思维能力等空间智能都得到了充分的提升。看似简单的游戏操作，却蕴含丰富的数学思考，最重要的是能让学生通过数学游戏充分体验学习与生活。这不仅可以提高学生学习数学的兴趣，而且有助于学生对进制的理解，使学生在内心建立认知模型并发展数学核心素养。

学生认识事物要经历由易到难、由直观到抽象、由感性认识上升到理性认识的过程。数学游戏课就是引导学生从易到难、由浅入深的切入口，必须有趣、鲜活。基于核心素养培养的“点与数”教学，让学生在操作体验中经历数学模型建构，把握数学所学知识的过程。我们期待学生用眼睛观察、用耳朵聆听、动手操作、动脑筋思考，多感官协调学习，在数学游戏中了解数学的本质，爱上数学。