一元一次不等式与不等式组

一元一次不等式与不等式组

考点，易混易错点解读

在中考中，常见的命题点有：不等式的性质，解一元一次不等式（组），确定一元一次不等式组中字母参数的值或取值范围，一元一次不等式的实际应用.

在运用不等式的性质时，要注意不等号方向是否改变，一元一次不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分，在求解时有两种方法：（1）口诀法.“同大取大，同小取小，大小、小大中间找，大大小小无解了”.（2）数形结合法.把每个不等式的解在数轴上表示出来，然后取它们的公共部分.

解决求不等式组整数解的相关问题时，先得出不等式组的解集，并将其在数轴上表示出来，一定要注意不等式组的解集在数轴上表示时是用“空心圆圈”还是用“实心圆点”，然后结合数轴确定整数解，要注意以下三点：（1）求整数解时，当临界点是整数时，要区分临界点是“实心”还是“空心”.（2）当临界点不是整数时，根据不等式组的解集确定整数解是在临界点左侧还是右侧.（3）求最大整数解时，要找数轴上最右边的整数解;求最小整数解时，要找数轴上最左边的整数解.

在实际问题中，列不等式时要找到问题中表示不等关系的词，正确理解这些词的含义.常见的表示“>”的词有“大于”“高于”“多于”等，表示“<”的词有“小于”“低于”“少于”等，表示“≥”的词有“至少”“不小于”“不低于”“不少于”等，表示“≤”的词有“最多”“不大于”“不高于”“不超过”等，求解时，要挖掘问题中的隐含条件，找出不等式解集范围内符合题目及实际意义的特殊解.

∴不等式组的所有非负整数解是0，1，2，3，4.

∴不等式组的所有非负整数解的和是10.故选A.

点拨：求出每个不等式的解集，解上面的第一个不等式去括号时，1不能漏乘以3;解第二个不等式去分母时，不能漏乘不含分母的项.在数轴上表示两个不等式的解集时，要注意第一个不等式不含“=”，第二个不等式含有“=”，进而确定不等式组的解集，再列出解集范围内的非负整数解，最后求所有非负整数解的和即可，

高频考点2确定一元一次不等式（组）中字母参数的值或取值范围

点拨：可以先把字母k看成一个已知数，求出不等式组中各个不等式的解集，然后利用数形结合的数学思想，借助数轴求出字母k的取值范围.本题中，先把不等式①的解集x>-1和不等式组的解集x>-1在数轴上表示出来，然后在数轴上探究不等式②的解集x>k+1所满足的条件，可以发现数轴上表示k+1的点不能在表示一1的点的右侧，所以得到k+1≤-1.在这里特别提醒，当不确定端点处能否取到时，可以把端点值代入进行判断.

高频考点3-元一次不等式的实际应用

例3（2019.赤峰）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价是每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话.

（1）结合两人的对话内容，小明原计划购买文具袋多少个？

（2）学校决定再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元，钢笔标价是每支8元，签字笔标价是每支6元.经过沟通，这次老板给予八折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？

解析：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个.

依題意得10（x+1）x0.85=10x-17，解得x=17.

答：小明原计划购买文具袋17个.

（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50-y）支.

依题意得[ 8y+6（50-y）] x80%≤400，解得y≤ 100.

答：小明最多可购买钢笔100支.

点拨：第（1）问中根据对话内容列出方程并解答.第（2）问中根据两种物品的购买总费用不超过400元列出不等式并解答.解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，据此得出等量关系或不等关系，列方程或不等式解决问题，

例4某商场销售A.B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表1所示.

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元，

说明：总的毛利润=（售价一进价）X销售量.

（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，A种设备购进数量至多减少多少套？

解析： （1）设该商场计划购进A种设备x套、B种设备y套.

答：该商场计划购进A种设备20套、B种设备30套.

（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套.

由已知得1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69.

解得a≤10.

答：A种设备购进数量至多减少10套，

点拨：列方程（组）解决实际问题时，要正确分析题意，找出满足条件的等量关系，然后根据等量关系列出方程（组），其中将题目中的“文字语言”转化为“数学符号语言”是解题的关键.列不等式（组）解决实际问题时，要注意题目中表示不等关系的词语，如“不大于”“不小于”“不超过”“不低于”等，

例5 某超市欲购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表2所示，设购进A种T恤x件，且所购进的两种T恤能全部卖出，获得的总利润为W元.

（1）求W与x的函数关系式.

（2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润.（提示：利润=售价一进价）

解析： （1）根据题意，得W=（80-50）x+（65-40）（200-x）=5x+5 000.

（2）根据题意，得50x+40 （200-x）≤9 500.解得x≤150.

由（1）可知W随x的增大而增大，要使W最大，则x取最大值，即x=150.

∴200-x =50，此时最大利润为：5×150+5 000=5 750（元）.

答：超市购进A品牌T恤150件，B品牌T恤50件能获得最大利润，最大利润为5 750元.

点拨：解此题的关键是弄清楚各种数量关系，能利用等量关系列函数关系式，能利用不等关系列不等式，会利用函数的增减性得出所求的最大利润.解答此类问题容易出错的地方是不能根据题意列出函数关系式或不等式，或不会用函数的增减性讨论最值问题.

中考命题预测：

4.小明去商店购买A，B两种玩具.共用了10元，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元，若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量，则小明的购买方案有（

）.

A.5种

B.4种

C.3种

D.2种