一次方程（组）与一元二次方程

2.1 一次方程（组）与一元二次方程

考点，易混易错点解读：

在中考中，有关一次方程（组）常见的命題点有：一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法，一次方程（组）的实际应用.

等式的性质是解方程的依据，在运用等式的性质时，要注意以下两点：（1）等号两边的运算要相同，参与运算的数或式子也要相同，即等号两边要同时加上（或减去或乘以或除以）相同的数或式子.（2）等号两边除以一个式子时，一定要注意这个式子是否可以等于0.如果该式子可以等于0，两边同时除以该式子后，所得等式就不一定成立.

在解一元一次方程时，常见的错误有：（1）去分母时，常数项漏乘各分母的最小公倍数.（2）移项时，某一项从等号一边移到另一边时，没有变号.（3）对于含参数的一元一次方程，将系数化为1时，如果未知数的系数是一个式子，没有对该式子能否为0进行分类讨论.

用代人消元法解二元一次方程组时，首先将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后将这个式子代入另一个方程中，从而达到消元的目的.在变形和代入的过程中，要严格依照移项和去括号的法则，避免出现符号错误，

在中考中，有关一元二次方程常见的命题点有：一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的实际应用，

一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、配方法、公式法与因式分解法.在解方程时要灵活运用.若方程的右边为0，且左边能分解因式，则宜选用因式分解法;若方程是形如X2=c（c≥0）、（ax+b）2=C的一类方程，则宜选用开平方法;若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，则宜选用配方法;若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便时，则用公式法，

解一元二次方程的注意事项有：（1）对于左右两边含有相同未知数因式的一元二次方程，应将方程化为一般形式后再求解（或将方程变为等号一边是0.另一边是含未知数的式子，利用因式分解法求解），切勿直接约去相同未知数因式，否则会丢根.（2）用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边要化为0，左边分解因式.（3）利用公式法求解时，一定要先将一元二次方程化为一般形式，然后再用求根公式求解，

如果所给方程的二次项系数含有字母参数，要看清题干中有没有说明这个方程是一元二次方程.如果题干指明这个方程是一元二次方程，或通过暗含条件，比如“方程有两个实数根”“方程有两个不相等的实数根”“方程有两个相等的实数根”等，可以判断它是一元二次方程，除了根据方程根的情况，结合根的判别式得到字母的值或取值范围，还要注意二次项系数不为0这个限制条件.如果不能确定所给方程是一元二次方程，那么要对二次项系数进行分类讨论.

利用根与系数的关系解题时，首先要把一元二次方程化为一般形式，然后在根的判别式大于或等于零的前提下正确使用根与系数的关系.

在解决实际问题时，通过解一元二次方程得到的根要符合实际情况，比如几何图形的边长为正数，商品的成本下降率应小于1.不符合实际情况的根应舍去.

高频考点例题点拨

高频考点1 方程的解

例1 （2019.南充）关于x的一元一次方程2x^a-2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（

）.

A.9

B.8

C.5

D.4

解析：由题意可得a-2=1，2+m=4，解得a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C.

点拨：解决涉及方程的解的问题，直接把方程的解代人方程，然后得到一个等式，即可求得其他字母的值，

例2 （2019.巴中）已知关于x，y的二元一次方程组ax-y=4，的解是x=2，则a+b的值

3x+by=4

y=-2，是（

）.

A.1

B.2

C.一1

D.0

解析：将方程组的解代入方程组，得a=1，b=1，所以a+b=2，故选B.

点拨：方程组的解就是方程组中所有方程的公共解.把方程组的解代入方程组的每一个方程，即可求出a，b的值.

高频考点2-次方程（组）与数学文化

例3（2019.甘肃）中国古代人民很早就在生产、生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文是：“今有三人共车，二车空;二人共车，九人步.人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，则最终剩余2辆车;若每2人共乘一辆车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人、多少辆车，

点拨：对于这类问题，原文表达的意思也许我们看不懂，但题目往往都会给出译文，解决问题时，我们只需要按照译文的意思，找已知量、未知量和等量关系，然后设未知数，列方程，解方程即可，本题还可以设共有x辆车，请读者朋友列方程解决问题.

高频考点3 一元二次方程的根

例4 （2019.甘肃）若一元二次方程X2_2kX+k²=0的一根为x=-1，则k的值为（

）.

A.一1

B.0

C.1或-1

D.2或0

解析：把x=-1代人方程得1+2k+k²=0，解得k=-1.故选A.

点拨：用配方法解一元二次方程时，共有四个步骤，第一步是变形：将ax²+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数化为1，要注意等号两边的每一项都要除以二次项系数.第二步是移项：把二次项和一次项移到等号左边，常数项移到等号右边.第三步是配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程配方为（x+m）²=n的形式，第四步是开方：利用直接开平方法求得方程的两个根.

高频考点5 一元二次方程根的判别式

例6 （2019.成宁）若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围是（

）.

A.m<1

B.m≤1

C.m>1

D.m≥1

解析：∵关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有实数根，

∴△=（-2）²-4m≥0.

解得m≤1.故选B.

点拨：本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程有实数根，则△≥0.注意“一元二次方程有实数根”包含两种情况：（1）方程有两个相等的实数根.（2）方程有兩个不相等的实数根.

高频考点6 一元二次方程的实际应用

例7（2019.东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出.根据市场调查，这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个;若销售单价每降低1元，则每天可多售出5个，已知每个电子产品的固定成本为100元.这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？

解析：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[ 300+5（200-x）]个.

依题意，可得（x-100）[300+5（200-x）]-32000.

解得x1=x2=180.

180<200.符合题意，

答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元，

点拨：根据总利润=每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决问题的关键，

5.已知一元二次方程3x²+4x -k =0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____ .

6.随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以SG等为代表的战略性新兴产业.据统计，目前广东省5G基站的数量约为1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.

（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？

（2）按照计划，求2020年底到2022年底全省5G基站数量的年平均增长率.