半线性热传导方程Cauchy问题生命跨度估计

林银河，徐根海，杨姗姗

（1.丽水学院工学院，浙江丽水323000；2.浙江理工大学理学院，浙江杭州310018）

0 引言

根据定义，生命跨度T（ε）是指解的最大存在时间。当T（ε）=+∞时，表明解整体存在。Li和Chen[1]建立了如下形式的生命跨度下界估计：

其中C是一个与n，p有关的正常数，但与ε无关，不同的地方取值不一样。

现在研究以下n维半线性热传导方程的Cauehy问题：

和

其中ε表示描述初值小性的参数。上述两个问题的方程都是反映扩散的方程，通常用于种群动力学和几何学中。这两个问题的主要区别在于非线性项，问题（2）中的非线性具有非负性，这有利于得出下界估计，而问题（3）的非线性不具有非负性。与上述两问题相关的更一般的非线性热传导方程模型为

其中u（t，x）表示化学反应中的温度，（f正）表示热源，可参考Hu[2]关于模型（2）的详细介绍。对Cauchy问题（2）的研究源于Fujita[3]于1966年的开创性工作。他证明了问题（2）存在临界指标p=pF（n）=（Fujita临界指标）：即当时，对于任何非负且非平凡的初值，解将在有限的时间内破裂：而当p时，则存在小初值整体解。随后，文［4-7］研究了临界指标情况，并证明了该情形解也将在有限时间内破裂。另外，Hu在文［2］的第5章中用反证法证明了当1

有一个有趣的现象是以下小初值半线性耗散波动方程的柯西问题：

与（2）具有相同的临界指标，参见［8-14］及其中的参考文献。

1 热核的半群性质

引理1 热核E（t，x）的傅里叶变换为

证明 由傅里叶变换的定义可知

于是（8）得证。基于此，可以证明 E（t，x）的半群性质，即：

其中★表示卷积。

证明 由（8）式可知E（t，x）的傅里叶变换为

由此可得

对上式再作傅里叶逆变换便可得（10）式。

2 主要结论的证明

首先考虑定理1的证明。根据Diuhamel原理，问题（2）的解可以表示为

在这里我们使用了E（t，x）的半群性质。

令

和

则由 Ho¨lder不等式，可得

令

则有

代入（17）式，得

其中C0表示一个与ε无关的正常数。

注意到当 0≤τ≤t时，有 2（t+1）≥2t+1-τ≥t+1，则由 Ho¨lder不等式可以估计非线性项 N（t）：

其中C1表示一个与ε无关的正常数。

结合（13）（19）（20）和（21），可得

令

则有

和

由此可得H（t），亦即F（t）的生命跨度上界估计：

积分上式，可得

即

整理后，可得

其中

进一步，可得

于是当

即当

时，有

从而

这样就证明了生命跨度上界估计为

从而完成了定理1的证明。

以下考虑定理2的证明。事实上，只需要证明解的非负性，则问题（3）就能转化为问题（2），从而就可以用上面的方法得到同样的生命跨度上界估计。下面证明问题（3）的解是非负的。首先考虑如下Cauchy问题：

由热传导方程基本解的正性（见（13））和初值的假设，可知

再由热传导方程解的唯一性，可知

这样就证明了Cauchy问题（3）解的非负性，从而问题（3）中的非线性项，故只需重复定理1的证明步骤即可证明定理2。