带有随机订货点的两阶段报童模型
2020-10-23闵杰,李瑶,刘斌,欧剑
闵 杰, 李 瑶, 刘 斌, 欧 剑
(1.安徽建筑大学 数理学院,安徽 合肥 230601; 2.安徽建筑大学 经管学院,安徽 合肥 230601)
0 引言
在实际生产运营中,由于消费者需求随机性的存在,零售商对某类商品实行一次订购策略往往导致库存不足或库存积压。订货不足会导致商品缺货损失;反之,若一次订购量太多,为减少库存成本,快速回笼资金,零售商在销售期末只能将积压的库存商品以一个低于成本价的售价清仓处理。所以,传统的一次订购策略可能导致供货服务水平降低和零售商利润受损。针对一次订购的缺点,一些零售商采取了在销售周期内实行二次订购的策略来规避市场风险,提升利润。
然而,由于工艺、产能、原材料或管理等因素的限制,当零售商进行第二次订货时,上游商品制造商可能无法及时满足零售商的采购需求,只有当上游制造商生产的商品库存满足零售商二次订购的需求时才能保证商品的及时供应。所以,零售商第二次订货成功的时间点存在不确定性,本文将其称为“随机订货点”。这种现象普遍存在于现实生活中,如“国货之光”小米手机在每次新品发售之前会根据预测的市场需求进行第一次订货,但是在整个销售期内仍会出现新款售罄的情况,当零售商根据市场空缺再次补货时,上游制造商可能因为产能或者原材料不足等原因无法准确把握供货时间,因此,小米零售部门的第二次订货时间也就存在随机性。这种现象在很多行业的供应链运作中很常见,如服装行业的某种爆款服装、章丘铁锅等,这些热销商品都会出现因断货而导致第二次供货时间不确定的情况。本文依据这些实际情况,研究了第二次订货时间点不确定的报童问题。
对于报童问题,很多学者进行了深入研究,从单周期到多阶段[1,2],甚至到整个供应链问题[3~6],从一次订购拓展到可追加订购问题[7~11]。Lau等[12]研究了带有二次订购的单周期报童模型,分析了零售商在两次订购机会下的最优订购量和整个销售期的最优期望利润。王圣东等[13]考虑了有缺货损失情况下的两阶段需求独立的报童模型,并在此基础上延伸了两阶段需求相关的报童模型,给出了零售商的最优订购量,使得其获得最大的期望利润。侯云章等[14]研究了只有一个零售商和一个供应商的二级逆向供应链系统,在两个阶段的需求均服从正态分布的情况下,采用信息不共享的二次订购策略时,零售商和整个供应链的总收益,并与一次订购模型进行比较分析,通过数值算例说明二次订购策略可以优化整个逆向供应链系统。王圣东等[15]考虑了两次订货机会下由单个制造商和多个销售商组成的供应链生产、销售易逝品的协调模型, 给出了模型的解析解。宋海涛等[16]只考虑第一次销售需求量,研究了带有两次订购、两次销售的报童模型。在宋海涛等人的研究基础上,文献[17]基于需求分布的不同,通过假设两次需求独立且服从不同分布,建立了订购量与企业收入之间的映射关系,最后详细探讨了需求服从均匀分布时的特殊情况。以上文章都研究了二次订购的报童模型,但是均假设第二次订货时间点是确定的,而未考虑到时间因素的影响。
另外一些文章分析了时间因素对报童模型的影响,如蔡清波等[18]考虑了带有采购时间的一般报童模型,假设市场需求预测值的方差是采购时间的线性函数,当需求量服从均匀分布时,零售商应如何确定采购时间和最优的订购量,使得自己在销售期内获得最大的期望利润。李明琨等[19]在传统报童模型中加入了提前采购的天数,并分析了需求量服从不同分布,且能够采购到的货物量、采购成功的概率和进货价格三个因素分别为时间函数时,零售商的最优订购量和最小的期望损失。贺勇等[20]分析了带有提前订货期的传统一次订购模型,利用计算机仿真的方法求得在订购时间、库存成本和最高订购数量具有时变性质下的最优订购时间和最佳订货量,并以一个实例进行了计算分析。但是这些模型并没有将时间因素体现在销售期的两个阶段上,未考虑第二次订货时间点不确定的两阶段订货情形,然而在实际中普遍存在零售商二次补货且补货时间不确定的现象[21]。
本文站在零售商的角度,为了让零售商获得最大的期望利润,以联系实际和研究以上文献为基础,构建了含有随机订货点的两阶段报童模型,在满足随机订货点和需求率同时服从均匀分布的情况下,所决策最优的订货量。通过具体案例对模型进行讨论,并对比分析了传统一次订购报童模型和订货点具有随机性的二次订购报童模型的期望总利润,得出相应的理论贡献与管理启示。
1 模型符号与假设
为便于表述,将本文所用符号与假设描述如下:
(1)对销售周期归一化处理,将整个销售期假设为[0,1];
(2)若上游生产商货源充足,则及时供货;
(3)假设零售商第二次订购时刻为t,且t为服从均匀分布的随机变量,即随机订货点t~U(0,1);
(4)将销售周期内的市场需求率表述为r,假设单位时间的随机需求量r~U[a,a+h],其中,a≥0,h>0,且整个销售期内各时刻的需求率相同;D为整个销售期间的总需求量,Di(i=1,2)分别为第一阶段和第二阶段的需求量,且D=r·1=r,D1=rt,D2=r(1-t);
(5)Qi(i=1,2)分别表示前后两次的订货数量;
(6)将c表示单位商品的采购成本,p表示为单位商品的零售价格,s表示单位商品的缺货所造成的损失成本,v表示单位商品的回收处理价格,也即商品的残值。根据实际,不难看出p>c>v。
2 模型的构建
我们考虑在单周期情况下带有二次订货的报童模型,并且在该模型中,只有一个零售商和一个生产商。在销售期开始(即0时刻)时,零售商采购第一批数量为Q1的商品;然后根据市场实际需求,在随机的t时刻订购第二批数量为Q2的商品。根据两个阶段的需求率与销售时长,得出第一阶段的需求量D1=rt,第二阶段的需求量D2=r(1-t)。所以,在一个完整销售周期内的市场总需求量D=r·1=r。
销售期内的事件顺序图如下:
图1 考虑订货点随机性的两阶段报童模型事件顺序
基于模型中市场需求率r在一个销售期内保持不变的假设,零售商在销售期内可获得市场的需求信息。然而,在第一次订货时,销售期未开始,需求率r和二次订货时间t对零售商来说是不确定信息,即第一阶段的需求量D1=rt存在随机性,在第一阶段末,商品的剩余量为(Q1-rt)+,这里(a)+=max{a,0},缺货量为(rt-Q1)+;零售商在t时刻进行第二次订货时,此时需求率r和第二阶段的长度1-t已经确定,故第二阶段的需求量D2=r(1-t)是确定的,那么零售商的第二次订货定会满足市场的需求,此时订货量Q2=max{r(1-t)-(Q1-rt)+,0},缺货量为0。因此,整个销售期的销售量为min{Q1+r(1-t),r},订货总量为Q1+max{r(1-t)-(Q1-rt)+,0},缺货量为(rt-Q1)+,销售期末剩余量为(Q1-r)+。
π=π(r,t)
=p·min{Q1+r(1-t),r}-
c(Q1+max{r(1-t)-(Q1-rt)+,0})-
s(rt-Q1)++v(Q1-r)+
(1)
式(1)应分成三种情况考虑:
①当Q1