关于留数定理的教学设计与实践

徐彬

摘要：留数定理是留数理论的基础，它为某些类型积分的计算提供了极为有效的方法，是教学中的重点也是难点。本文从定理的引入、定理的理解、定理的应用三个方面对留数定理的教学设计进行探讨，并在教学中付诸实践，旨在充分调动学生学习的积极性，引导学生理解定理内涵，达到学以致用的目的。

关键词：留数定理;教学设计;教学实践

留数定理是《复变函数与积分变换》课程中非常重要的一个定理，是教学中的重点也是难点。留数定理是留数理论的基础，柯西-古萨定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况。应用留数定理可以把计算沿闭曲线的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，应用留数定理还可以计算一些定积分和广义积分，其中有些积分，在高等数学中已经计算过，但计算时比较复杂，用留数理论可以在分类后作统一处理，所以留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义。

本文结合笔者自身的教学实践，不断总结多次教学中的优缺点，从定理的引入、定理的理解、定理的应用三个方面探索留数定理的教学方法，帮助学生更好地理解这部分内容，达到灵活应用的目的。

1关于留数定理的引入

学生在之前的学习过程中已经掌握了一些求复积分的方法，如：参数方程法、牛顿-莱布尼兹公式、柯西-古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式、复合闭路定理等，这些方法可以解决一些复积分的求解问题，但是遇到下面的问题，以上方法就没办法解决了。

例1：计算

在教学的过程中，可以先给出例1，采用启发式教学，请同学们先思考这个积分如何去求解，用之前学习过的求解复积分的方法是否可以解决，学生通过积极思考发现这个问题用学过的方法没办法解决，这个时候可以告诉同学们将学习一种新的方法解決以上问题。接下来的教学环节，逐步引入留数的定义、留数定理以及用留数定理具体计算积分，学生带着问题去学习新内容有助于激发学生的学习兴趣，更好的理解定理的内容和应用。

2留数及留数定理

定义1 如果z₀是f（z）的孤立奇点，函数f（z）在区域0<|z-z₀|0